Номер 15, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15 Вычислите:

а) $ \frac{3^5 \cdot 9^{-2}}{27^2} $;

б) $ \frac{4^2 \cdot 5^3}{10^5} $;

в) $ \frac{2^7 \cdot 8^{-3}}{4^{-5}} $;

г) $ \frac{15^6}{9^3 \cdot 5^7} $.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{3^5 \cdot 9^{-2}}{27^2}$, приведем все числа к основанию 3.
Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{3^5 \cdot (3^2)^{-2}}{(3^3)^2}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{3^5 \cdot 3^{-4}}{3^6}$
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$3^5 \cdot 3^{-4} = 3^{5+(-4)} = 3^1 = 3$
Получаем дробь:
$\frac{3^1}{3^6}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{1-6} = 3^{-5}$
Вычисляем окончательное значение:
$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$
Ответ: $\frac{1}{243}$.

б) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{4^2 \cdot 5^3}{10^5}$, разложим числа 4 и 10 на простые множители.
$4 = 2^2$
$10 = 2 \cdot 5$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(2^2)^2 \cdot 5^3}{(2 \cdot 5)^5}$
Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 2} \cdot 5^3}{2^5 \cdot 5^5} = \frac{2^4 \cdot 5^3}{2^5 \cdot 5^5}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^4}{2^5} \cdot \frac{5^3}{5^5} = 2^{4-5} \cdot 5^{3-5} = 2^{-1} \cdot 5^{-2}$
Вычислим результат:
$2^{-1} \cdot 5^{-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{50}$
Ответ: $\frac{1}{50}$.

в) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2^7 \cdot 8^{-3}}{4^{-5}}$, приведем все числа к основанию 2.
Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{2^7 \cdot (2^3)^{-3}}{(2^2)^{-5}}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{-3} = 2^{3 \cdot (-3)} = 2^{-9}$
$(2^2)^{-5} = 2^{2 \cdot (-5)} = 2^{-10}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{2^7 \cdot 2^{-9}}{2^{-10}}$
Применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$2^7 \cdot 2^{-9} = 2^{7+(-9)} = 2^{-2}$
Получаем дробь:
$\frac{2^{-2}}{2^{-10}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{-2 - (-10)} = 2^{-2+10} = 2^8$
Вычисляем окончательное значение:
$2^8 = 256$
Ответ: $256$.

г) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{15^6}{9^3 \cdot 5^7}$, разложим числа 15 и 9 на простые множители.
$15 = 3 \cdot 5$
$9 = 3^2$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(3 \cdot 5)^6}{(3^2)^3 \cdot 5^7}$
Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{3^6 \cdot 5^6}{3^{2 \cdot 3} \cdot 5^7} = \frac{3^6 \cdot 5^6}{3^6 \cdot 5^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сократим дробь:
$\frac{3^6}{3^6} \cdot \frac{5^6}{5^7}$
Используем свойства $a^0=1$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{6-6} \cdot 5^{6-7} = 3^0 \cdot 5^{-1} = 1 \cdot 5^{-1}$
Вычислим результат:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$.