Номер 8, страница 21 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

I. Основы кинематики. Считаем и сравниваем - номер 8, страница 21.

Условие.

8. Для того чтобы брошенное вертикально вверх тело достигло некоторой высоты, ему была сообщена начальная скорость 20 м/с. Чему должна быть равна начальная скорость, чтобы высота подъёма увеличилась в 4 раза?

Решение.

Дано:

$v_{01} = 20$ м/с

$h_2 = 4h_1$

Найти:

$v_{02}$ - ?

Решение:

Для тела, брошенного вертикально вверх, максимальная высота подъёма $\text{h}$ связана с начальной скоростью $v_0$ формулой, которая выводится из закона сохранения энергии или из кинематического уравнения. Воспользуемся кинематическим уравнением для равноускоренного движения без времени:

$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Где $\text{v}$ - конечная скорость, $\text{a}$ - ускорение. На максимальной высоте подъёма конечная скорость тела равна нулю ($v = 0$). Ускорение, с которым движется тело, это ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вниз, то есть против начальной скорости ($a = -g$).

Подставив эти значения в формулу, получим выражение для максимальной высоты подъёма:

$h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Из этой формулы видно, что высота подъёма прямо пропорциональна квадрату начальной скорости.

Запишем это соотношение для двух случаев, описанных в задаче:

1. В первом случае: $h_1 = \frac{v_{01}^2}{2g}$

2. Во втором случае: $h_2 = \frac{v_{02}^2}{2g}$

По условию задачи, $h_2 = 4h_1$. Подставим в это равенство выражения для $h_1$ и $h_2$:

$\frac{v_{02}^2}{2g} = 4 \cdot \frac{v_{01}^2}{2g}$

Можно сократить обе части уравнения на общий множитель $\frac{1}{2g}$:

$v_{02}^2 = 4v_{01}^2$

Чтобы найти $v_{02}$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v_{02} = \sqrt{4v_{01}^2} = 2v_{01}$

Теперь подставим известное значение начальной скорости $v_{01}$:

$v_{02} = 2 \cdot 20 \text{ м/с} = 40 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость должна быть равна 40 м/с.