Номер 24, страница 88, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 9. Силы упругости - номер 24, страница 88.

Условие.

24. Когда к пружине подвесили гирьку массой 100 г, длина пружины стала равна 15 см. Когда к этой гирьке подвесили ещё две такие же, длина пружины стала равной 19 см. Чему равна длина недеформированной пружины?

Решение.

Дано:

Масса одной гирьки, $m = 100$ г
Длина пружины с одной гирькой, $l_1 = 15$ см
Длина пружины с тремя гирьками, $l_2 = 19$ см

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$l_1 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$l_2 = 19 \text{ см} = 0.19 \text{ м}$

Найти:

Длина недеформированной пружины, $l_0$

Решение:

Пусть $l_0$ — это начальная длина пружины в недеформированном состоянии, а $\text{k}$ — её коэффициент жёсткости.

1. Когда к пружине подвесили первую гирьку массой $\text{m}$, на неё подействовала сила тяжести $F_1 = mg$. Согласно закону Гука, эта сила уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр1} = k \Delta l_1$, где $\Delta l_1 = l_1 - l_0$ — удлинение пружины.
Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
$k(l_1 - l_0) = mg$ (1)

2. Когда к первой гирьке добавили ещё две такие же, общая масса подвешенного груза стала равна $m_{общ} = m + 2m = 3m$. Сила тяжести, действующая на пружину, стала $F_2 = 3mg$. Длина пружины стала $l_2$, а её удлинение $\Delta l_2 = l_2 - l_0$.
Запишем второе уравнение на основе закона Гука:
$k(l_2 - l_0) = 3mg$ (2)

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $l_0$ и $\text{k}$:
$\begin{cases} k (l_1 - l_0) = mg \\ k (l_2 - l_0) = 3mg \end{cases}$
Для того чтобы найти $l_0$, разделим второе уравнение на первое. Это позволит нам исключить неизвестные $\text{k}$, $\text{m}$ и $\text{g}$:
$\frac{k(l_2 - l_0)}{k(l_1 - l_0)} = \frac{3mg}{mg}$
$\frac{l_2 - l_0}{l_1 - l_0} = 3$

4. Подставим в полученное выражение известные значения длин $l_1 = 15$ см и $l_2 = 19$ см. Для данного расчёта можно использовать значения в сантиметрах, так как это соотношение, и единицы измерения сократятся.
$\frac{19 - l_0}{15 - l_0} = 3$

5. Решим это уравнение относительно $l_0$:
$19 - l_0 = 3 \cdot (15 - l_0)$
$19 - l_0 = 45 - 3l_0$
$3l_0 - l_0 = 45 - 19$
$2l_0 = 26$
$l_0 = \frac{26}{2}$
$l_0 = 13 \text{ см}$

Ответ: длина недеформированной пружины равна 13 см.