Номер 8, страница 85, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 9. Силы упругости - номер 8, страница 85.

Условие.

8. На рисунке 9.4 изображены два положения брусков, соединенных пружиной. Массы брусков 1 кг и 2 кг, длина пружины при первом положении брусков равна 14 см, а при втором положении — 10 см.

Рис. 9.4

а) Чему равна длина недеформированной пружины?

б) Чему равна жёсткость пружины?

Решение.

Дано:

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 2$ кг

$L_1 = 14$ см

$L_2 = 10$ см

Перевод в систему СИ:
$L_1 = 0.14$ м
$L_2 = 0.10$ м

Найти:

a) $L_0$ — ?

б) $\text{k}$ — ?

Решение:

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг.

В обоих положениях система находится в состоянии покоя. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что силы, действующие на верхний брусок, скомпенсированы. На верхний брусок действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила упругости пружины, направленная вверх. В состоянии равновесия эти силы равны по модулю.

Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta L$, где $\text{k}$ – жёсткость пружины, а $\Delta L = |L_0 - L|$ – её деформация (в данном случае сжатие), $L_0$ – длина пружины в недеформированном состоянии.

Для первого положения, где на пружине находится брусок массой $m_1$, условие равновесия записывается так:

$F_{т1} = F_{упр1}$

$m_1 g = k(L_0 - L_1)$ (1)

Для второго положения, где на пружине находится брусок массой $m_2$, условие равновесия записывается так:

$F_{т2} = F_{упр2}$

$m_2 g = k(L_0 - L_2)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $L_0$ и $\text{k}$.

a) Чему равна длина недеформированной пружины?

Для нахождения $L_0$ разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это позволит нам исключить неизвестную жёсткость $\text{k}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$.

$\frac{m_2 g}{m_1 g} = \frac{k(L_0 - L_2)}{k(L_0 - L_1)}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{L_0 - L_2}{L_0 - L_1}$

Подставим известные числовые значения в данное выражение:

$\frac{2}{1} = \frac{L_0 - 0.10}{L_0 - 0.14}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $L_0$:

$2(L_0 - 0.14) = 1(L_0 - 0.10)$

$2L_0 - 0.28 = L_0 - 0.10$

$2L_0 - L_0 = 0.28 - 0.10$

$L_0 = 0.18$ м.

Переводя в сантиметры, получаем $L_0 = 18$ см.

Ответ: Длина недеформированной пружины равна 18 см.

б) Чему равна жёсткость пружины?

Зная длину недеформированной пружины $L_0$, мы можем вычислить её жёсткость $\text{k}$, используя любое из двух первоначальных уравнений. Воспользуемся уравнением (1):

$m_1 g = k(L_0 - L_1)$

Выразим отсюда жёсткость $\text{k}$:

$k = \frac{m_1 g}{L_0 - L_1}$

Подставим числовые значения:

$k = \frac{1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{0.18 \text{ м} - 0.14 \text{ м}} = \frac{10 \text{ Н}}{0.04 \text{ м}} = 250 \text{ Н/м.}$

Для проверки можно провести расчёт по второму уравнению:

$k = \frac{m_2 g}{L_0 - L_2} = \frac{2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{0.18 \text{ м} - 0.10 \text{ м}} = \frac{20 \text{ Н}}{0.08 \text{ м}} = 250 \text{ Н/м.}$

Результаты совпали, что подтверждает правильность наших вычислений.

Ответ: Жёсткость пружины равна 250 Н/м.