Номер 7, страница 85, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 9. Силы упругости - номер 7, страница 85.

Условие.

7. Когда к пружине подвешен покоящийся груз массой 100 г, её длина равна 10 см, а когда подвешен груз массой 200 г, её длина равна 12 см.

а) Обозначьте длину недеформированной пружины $l_0$, жёсткость пружины $\text{k}$, модули веса первого и второго грузов $P_1$ и $P_2$. Запишите систему уравнений, связывающих эти величины с величинами, данными в описании ситуации.

б) Выразите длину недеформированной пружины через величины, данные в описании ситуации.

в) Выразите жёсткость пружины через величины, данные в описании ситуации.

г) Чему равны длина недеформированной пружины и её жёсткость?

Решение.

а) Обозначьте длину недеформированной пружины $l_0$, жёсткость пружины $\text{k}$, модули веса первого и второго грузов $P_1$ и $P_2$. Запишите систему уравнений, связывающих эти величины с величинами, данными в описании ситуации.

Когда груз подвешен к пружине и находится в состоянии покоя, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести, действующую на груз, то есть его вес $\text{P}$. Согласно закону Гука, сила упругости определяется как $F_{упр} = k \cdot \Delta l$, где $\text{k}$ – жёсткость пружины, а $\Delta l$ – её удлинение.

Рассмотрим первую ситуацию с грузом массой $m_1$:
Вес первого груза: $P_1 = m_1 g$.
Длина пружины с первым грузом: $l_1$.
Удлинение пружины: $\Delta l_1 = l_1 - l_0$.
Из условия равновесия ($F_{упр1} = P_1$) получаем первое уравнение: $k(l_1 - l_0) = P_1$.

Рассмотрим вторую ситуацию с грузом массой $m_2$:
Вес второго груза: $P_2 = m_2 g$.
Длина пружины со вторым грузом: $l_2$.
Удлинение пружины: $\Delta l_2 = l_2 - l_0$.
Из условия равновесия ($F_{упр2} = P_2$) получаем второе уравнение: $k(l_2 - l_0) = P_2$.

Ответ: Система уравнений, связывающая данные величины: $ \begin{cases} k(l_1 - l_0) = P_1 \\ k(l_2 - l_0) = P_2 \end{cases} $

б) Выразите длину недеформированной пружины через величины, данные в описании ситуации.

Для решения используем систему уравнений, подставив в неё выражения для весов $P_1 = m_1 g$ и $P_2 = m_2 g$:
$ \begin{cases} k(l_1 - l_0) = m_1 g \\ k(l_2 - l_0) = m_2 g \end{cases} $
Выразим коэффициент жёсткости $\text{k}$ из обоих уравнений:
$k = \frac{m_1 g}{l_1 - l_0}$
$k = \frac{m_2 g}{l_2 - l_0}$
Приравняем правые части этих выражений:
$\frac{m_1 g}{l_1 - l_0} = \frac{m_2 g}{l_2 - l_0}$
Разделим обе части на $\text{g}$ (так как $g \neq 0$):
$\frac{m_1}{l_1 - l_0} = \frac{m_2}{l_2 - l_0}$
Преобразуем уравнение, используя основное свойство пропорции:
$m_1(l_2 - l_0) = m_2(l_1 - l_0)$
Раскроем скобки:
$m_1 l_2 - m_1 l_0 = m_2 l_1 - m_2 l_0$
Перенесём члены с $l_0$ в одну сторону, а остальные — в другую:
$m_2 l_0 - m_1 l_0 = m_2 l_1 - m_1 l_2$
Вынесем $l_0$ за скобку:
$l_0(m_2 - m_1) = m_2 l_1 - m_1 l_2$
Наконец, выразим $l_0$:
$l_0 = \frac{m_2 l_1 - m_1 l_2}{m_2 - m_1}$

Ответ: $l_0 = \frac{m_2 l_1 - m_1 l_2}{m_2 - m_1}$

в) Выразите жёсткость пружины через величины, данные в описании ситуации.

Снова обратимся к системе уравнений:
$ \begin{cases} k(l_1 - l_0) = m_1 g \\ k(l_2 - l_0) = m_2 g \end{cases} $
Раскроем скобки в обоих уравнениях:
$ \begin{cases} k l_1 - k l_0 = m_1 g \\ k l_2 - k l_0 = m_2 g \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от неизвестной величины $l_0$:
$(k l_2 - k l_0) - (k l_1 - k l_0) = m_2 g - m_1 g$
$k l_2 - k l_0 - k l_1 + k l_0 = (m_2 - m_1) g$
$k l_2 - k l_1 = (m_2 - m_1) g$
Вынесем $\text{k}$ за скобку:
$k(l_2 - l_1) = (m_2 - m_1) g$
Выразим жёсткость пружины $\text{k}$:
$k = \frac{(m_2 - m_1) g}{l_2 - l_1}$

Ответ: $k = \frac{(m_2 - m_1) g}{l_2 - l_1}$

г) Чему равны длина недеформированной пружины и её жёсткость?

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г}$
$l_1 = 10 \text{ см}$
$m_2 = 200 \text{ г}$
$l_2 = 12 \text{ см}$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$.

Переведём единицы измерения в систему СИ:
$m_1 = 0.1 \text{ кг}$
$l_1 = 0.1 \text{ м}$
$m_2 = 0.2 \text{ кг}$
$l_2 = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$l_0 - ?$
$k - ?$

Решение:

1. Вычислим длину недеформированной пружины $l_0$, используя формулу из пункта б):
$l_0 = \frac{m_2 l_1 - m_1 l_2}{m_2 - m_1} = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot 0.1 \text{ м} - 0.1 \text{ кг} \cdot 0.12 \text{ м}}{0.2 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг}} = \frac{0.02 - 0.012}{0.1} \text{ м} = \frac{0.008}{0.1} \text{ м} = 0.08 \text{ м}$.

2. Вычислим жёсткость пружины $\text{k}$, используя формулу из пункта в):
$k = \frac{(m_2 - m_1) g}{l_2 - l_1} = \frac{(0.2 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг}) \cdot 9.8 \text{ Н/кг}}{0.12 \text{ м} - 0.1 \text{ м}} = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг}}{0.02 \text{ м}} = \frac{0.98 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 49 \text{ Н/м}$.

Ответ: Длина недеформированной пружины равна $0.08 \text{ м}$ (или $8 \text{ см}$), а её жёсткость равна $49 \text{ Н/м}$.