Номер 5, страница 98 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 2. Динамика. Параграф 15. Решение задач о движении связанных тел - номер 5, страница 98.

Условие.

*5. На наклонной плоскости (рис. 63, б) под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту покоится тело массой $m_1$. К телу прикреплена невесомая гладкая нить, перекинутая через блок. Чтобы сдвинуть тело $m_1$ вверх вдоль наклонной плоскости, к другому концу нити прикрепляют груз массой $m_2 = 1,7 \text{ кг}$. Коэффициент трения тела $m_1$ о плоскость равен $\mu = 0,4$. Найдите максимальное значение массы $m_1$ первого тела, при котором оно будет подниматься. Считайте, что все тела движутся поступательно.

Рис. 63

Решение.

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$m_2 = 1,7 \text{ кг}$

$\mu = 0,4$

Найти:

$m_1 - ?$

Решение:

Для того чтобы тело массой $m_1$ начало двигаться вверх по наклонной плоскости, сила натяжения нити $\text{T}$ должна быть равна сумме сил, препятствующих этому движению: проекции силы тяжести на наклонную плоскость и силы трения.

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело. Условие "чтобы сдвинуть тело" означает, что мы рассматриваем предельный случай равновесия, когда ускорение системы равно нулю.

1. Силы, действующие на груз $m_2$:

На груз действуют сила тяжести $m_2g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх. Из второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось следует:

$T - m_2g = 0$

Следовательно, сила натяжения нити равна весу груза $m_2$:

$T = m_2g$

2. Силы, действующие на тело $m_1$:

Введем систему координат, в которой ось OX направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY – перпендикулярно ей. На тело $m_1$ действуют: сила тяжести $m_1g$, сила реакции опоры $\text{N}$, сила натяжения нити $\text{T}$ и сила трения $F_{тр}$.

Запишем второй закон Ньютона для тела $m_1$ в проекциях на оси координат:

Проекция на ось OY:

$N - m_1g \cos\alpha = 0$

Отсюда находим силу реакции опоры:

$N = m_1g \cos\alpha$

Сила трения $F_{тр}$ направлена против движения (вниз по плоскости) и равна:

$F_{тр} = \mu N = \mu m_1g \cos\alpha$

Проекция на ось OX:

Сила натяжения нити $\text{T}$ уравновешивает проекцию силы тяжести $m_1g \sin\alpha$ и силу трения $F_{тр}$:

$T - m_1g \sin\alpha - F_{тр} = 0$

3. Найдем массу $m_1$:

Подставим в последнее уравнение выражения для $\text{T}$ и $F_{тр}$:

$m_2g - m_1g \sin\alpha - \mu m_1g \cos\alpha = 0$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$m_2 - m_1 \sin\alpha - \mu m_1 \cos\alpha = 0$

Вынесем $m_1$ за скобки и выразим его:

$m_2 = m_1(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

$m_1 = \frac{m_2}{\sin\alpha + \mu \cos\alpha}$

4. Вычисления:

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m_1 = \frac{1,7 \text{ кг}}{\sin(30^\circ) + 0,4 \cdot \cos(30^\circ)}$

Используя значения тригонометрических функций $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$:

$m_1 = \frac{1,7}{0,5 + 0,4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1,7}{0,5 + 0,2\sqrt{3}}$

$m_1 \approx \frac{1,7}{0,5 + 0,2 \cdot 1,732} = \frac{1,7}{0,5 + 0,3464} = \frac{1,7}{0,8464} \approx 2,008 \text{ кг}$

Округляя результат до двух значащих цифр (согласно данным задачи), получаем:

$m_1 \approx 2,0 \text{ кг}$

Ответ: максимальное значение массы $m_1$ первого тела, при котором оно будет подниматься, составляет 2,0 кг.