Номер 4, страница 179 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 4. Механическая работа. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Параграф 28. Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии. Упражнения - номер 4, страница 179.

Условие.

4. Санки съезжают с горы высотой $\text{h}$ под углом $\alpha$ к горизонту. Коэффициент трения скольжения санок равен $\mu$. Определите модуль скорости санок у основания горы.

Решение.

Дано:

Высота горы: $\text{h}$

Угол наклона горы к горизонту: $\alpha$

Коэффициент трения скольжения: $\mu$

Начальная скорость санок: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Модуль скорости санок у основания горы: $\text{v}$

Решение:

Эту задачу удобно решить с помощью закона сохранения энергии с учетом работы неконсервативных сил (в данном случае, силы трения). Согласно этому закону, изменение полной механической энергии тела равно работе, совершенной над ним силой трения.

$\Delta E = A_{тр}$

$E_{кон} - E_{нач} = A_{тр}$

1. Определим начальную полную механическую энергию $E_{нач}$.

В начальный момент времени санки находятся на вершине горы на высоте $\text{h}$ и покоятся ($v_0 = 0$). Их полная энергия состоит из потенциальной энергии $E_p$ и кинетической энергии $E_к$.

$E_{нач} = E_{к,нач} + E_{p,нач} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh = 0 + mgh = mgh$

Здесь $\text{m}$ — масса санок.

2. Определим конечную полную механическую энергию $E_{кон}$.

В конечный момент времени санки находятся у основания горы ($h = 0$) и движутся со скоростью $\text{v}$.

$E_{кон} = E_{к,кон} + E_{p,кон} = \frac{mv^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv^2}{2}$

3. Определим работу силы трения $A_{тр}$.

Работа силы трения отрицательна, так как она направлена против движения. Она вычисляется по формуле:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot L$

где $F_{тр}$ — сила трения, а $\text{L}$ — длина склона горы.

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры уравновешивает проекцию силы тяжести на ось, перпендикулярную плоскости: $N = mg \cos\alpha$.

Следовательно, $F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$.

Длину склона $\text{L}$ можно выразить через высоту $\text{h}$ и угол $\alpha$ из прямоугольного треугольника: $\sin\alpha = \frac{h}{L}$, откуда $L = \frac{h}{\sin\alpha}$.

Теперь можем найти работу силы трения:

$A_{тр} = -(\mu mg \cos\alpha) \cdot \left(\frac{h}{\sin\alpha}\right) = -\mu mgh \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\mu mgh \cot\alpha$

4. Подставим все найденные выражения в исходное уравнение закона сохранения энергии.

$\frac{mv^2}{2} - mgh = -\mu mgh \cot\alpha$

Разделим обе части уравнения на массу $\text{m}$ (она сокращается):

$\frac{v^2}{2} - gh = -\mu gh \cot\alpha$

Выразим $v^2$:

$\frac{v^2}{2} = gh - \mu gh \cot\alpha$

$\frac{v^2}{2} = gh(1 - \mu \cot\alpha)$

$v^2 = 2gh(1 - \mu \cot\alpha)$

Наконец, найдем модуль скорости $\text{v}$, извлекая квадратный корень:

$v = \sqrt{2gh(1 - \mu \cot\alpha)}$

Ответ: $v = \sqrt{2gh(1 - \mu \cot\alpha)}$