Номер 5, страница 179 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 4. Механическая работа. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Параграф 28. Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии. Упражнения - номер 5, страница 179.

Условие.

5. Подвешенный на лёгкой нерастяжимой нити длиной 10 см маленький тяжёлый шарик отклонили так, что натянутая нить образует с вертикалью угол $\alpha = 60^\circ$. Определите модуль максимальной скорости шарика после его отпускания.

Решение.

Дано:

$l = 10 \text{ см}$

$\alpha = 60^\circ$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$l = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$v_{max}$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии. В системе "шарик-Земля" при движении шарика на нити полная механическая энергия сохраняется, так как сила натяжения нити всегда перпендикулярна вектору скорости и работы не совершает, а сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Полная механическая энергия $\text{E}$ системы складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии самое низкое положение шарика (положение равновесия).

В начальный момент времени (положение 1), когда шарик отклонен на угол $\alpha$, его отпускают. Начальная скорость шарика равна нулю ($v_1 = 0$), поэтому его начальная кинетическая энергия $E_{k1} = 0$.

Высоту $h_1$ начального положения шарика над нулевым уровнем найдем из геометрических соображений. Если $\text{l}$ — длина нити, то высота подъема шарика относительно положения равновесия равна:

$h_1 = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$

Таким образом, начальная потенциальная энергия шарика равна:

$E_{p1} = mgh_1 = mgl(1 - \cos\alpha)$

Полная начальная энергия системы:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 + mgl(1 - \cos\alpha) = mgl(1 - \cos\alpha)$

Максимальная скорость $v_{max}$ будет у шарика в момент прохождения положения равновесия (положение 2). В этой точке высота шарика над нулевым уровнем $h_2 = 0$, следовательно, его потенциальная энергия $E_{p2} = 0$.

Кинетическая энергия в этот момент будет максимальной:

$E_{k2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Полная энергия системы в нижней точке:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv_{max}^2}{2} + 0 = \frac{mv_{max}^2}{2}$

По закону сохранения энергии, полная энергия в начальном положении равна полной энергии в конечном положении, то есть $E_1 = E_2$:

$mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Масса шарика $\text{m}$ сокращается. Выразим из этого уравнения максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max}^2 = 2gl(1 - \cos\alpha)$

$v_{max} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$\cos(60^\circ) = 0.5$

$v_{max} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.1 \text{ м} \cdot (1 - 0.5)} = \sqrt{2 \cdot 1 \cdot 0.5} = \sqrt{1} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: модуль максимальной скорости шарика равен $1 \text{ м/с}$.