Номер 5, страница 295 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 48. Построение изображений, создаваемых тонкими собирающими линзами. Упражнения - номер 5, страница 295.

Условие.

*5. Светящаяся точка находится перед собирающей линзой на расстоянии, меньшем фокусного, над главной оптической осью линзы. Постройте изображение этой точки с помощью двух лучей: луча, идущего вдоль побочной оптической оси, и второго луча:

а) падающего на линзу параллельно главной оптической оси;

б) имеющего продолжение, которое проходит через главный фокус, находящийся перед линзой. Докажите, что продолжения этих трёх лучей пересекаются в одной точке.

Решение.

Задача состоит в построении изображения светящейся точки $\text{S}$, расположенной перед собирающей линзой на расстоянии $\text{d}$ от неё, меньшем фокусного расстояния $\text{F}$ ($d < F$). Изображение в этом случае является мнимым, прямым и увеличенным. Для построения используются три стандартных луча, исходящих из точки $\text{S}$.

Опишем ход этих трёх лучей:

1. Луч, идущий вдоль побочной оптической оси: это луч, проходящий через оптический центр линзы $\text{O}$. Он не меняет своего направления после прохождения через линзу.

2. Луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси (пункт а): после преломления в линзе этот луч проходит через её задний главный фокус $F'$.

3. Луч, продолжение которого проходит через передний главный фокус (пункт б): это луч, исходящий из точки $\text{S}$ так, как если бы он был испущен из переднего главного фокуса $\text{F}$. После преломления в линзе он распространяется параллельно главной оптической оси.

Поскольку лучи после преломления в линзе расходятся, изображение точки $\text{S}$ (обозначим его $S'$) будет мнимым и будет находиться на пересечении продолжений преломлённых лучей, построенных в обратном направлении.

а) Построение с помощью луча, идущего вдоль побочной оптической оси, и луча, падающего на линзу параллельно главной оптической оси

Для построения изображения $S'$ используем лучи 1 и 2.

- Проводим луч 1 из точки $\text{S}$ через оптический центр $\text{O}$. Он продолжается прямолинейно.

- Проводим луч 2 из точки $\text{S}$ параллельно главной оптической оси до пересечения с плоскостью линзы. После преломления этот луч проходит через задний фокус $F'$.

- Преломлённые лучи расходятся. Строим их продолжения в обратную сторону (в пространство предметов). Точка пересечения этих продолжений и есть мнимое изображение $S'$.

Ответ: Изображение $S'$ построено на пересечении продолжений луча, прошедшего через оптический центр, и луча, прошедшего после преломления через задний главный фокус. Изображение является мнимым, прямым (расположено с той же стороны от главной оптической оси, что и предмет) и увеличенным. Оно находится с той же стороны от линзы, что и сама светящаяся точка $\text{S}$.

б) Построение с помощью луча, идущего вдоль побочной оптической оси, и луча, имеющего продолжение, которое проходит через главный фокус, находящийся перед линзой

Для построения изображения $S'$ используем лучи 1 и 3.

- Проводим луч 1 из точки $\text{S}$ через оптический центр $\text{O}$. Он продолжается прямолинейно.

- Проводим луч 3 из точки $\text{S}$ в направлении от переднего фокуса $\text{F}$ (т.е. луч лежит на прямой, проходящей через точки $\text{F}$ и $\text{S}$). После преломления в линзе этот луч пойдёт параллельно главной оптической оси.

- Преломлённые лучи 1 и 3 также расходятся. Строим их продолжения в обратную сторону. Точка пересечения этих продолжений даёт мнимое изображение $S'$.

Ответ: Изображение $S'$ построено на пересечении продолжений луча, прошедшего через оптический центр, и луча, который после преломления стал параллелен главной оптической оси. Изображение является мнимым, прямым, увеличенным и находится с той же стороны от линзы, что и точка $\text{S}$.

Доказательство того, что продолжения этих трёх лучей пересекаются в одной точке

Для доказательства воспользуемся аналитическим методом. Введём систему координат: ось абсцисс ($\text{x}$) направим вдоль главной оптической оси, а ось ординат ($\text{y}$) — вдоль плоскости тонкой линзы. Начало координат $O(0, 0)$ поместим в оптический центр линзы.

Пусть светящаяся точка $\text{S}$ имеет координаты $(-d, h)$, где $d > 0$ — расстояние от точки до линзы, $h > 0$ — её высота над главной оптической осью. Координаты переднего фокуса $\text{F}$ будут $(-F, 0)$, а заднего фокуса $F'$ — $(F, 0)$. По условию $d < F$.

Найдём уравнения прямых, содержащих продолжения трёх преломлённых лучей.

1. Продолжение луча, прошедшего через оптический центр. Этот луч проходит через точки $S(-d, h)$ и $O(0, 0)$. Его уравнение: $y = kx$. Подставляя координаты $\text{S}$, находим $k = h / (-d) = -h/d$. Уравнение прямой: $y = -\frac{h}{d}x$.

2. Продолжение луча, который был параллелен главной оптической оси. Падающий луч — горизонтальная прямая $y=h$. Он пересекает линзу в точке $A(0, h)$. Преломлённый луч проходит через точки $A(0, h)$ и $F'(F, 0)$. Угловой коэффициент этой прямой: $k' = \frac{0 - h}{F - 0} = -\frac{h}{F}$. Уравнение прямой (с учётом сдвига): $y - h = -\frac{h}{F}(x - 0)$, или $y = -\frac{h}{F}x + h$.

3. Продолжение луча, который после преломления стал параллелен главной оптической оси. Падающий луч лежит на прямой, проходящей через $F(-F, 0)$ и $S(-d, h)$. Он пересекает линзу (ось $\text{y}$) в точке $\text{B}$. Найдём ординату точки $\text{B}$. Уравнение прямой $FS$: $\frac{y - 0}{x - (-F)} = \frac{h - 0}{-d - (-F)}$, то есть $\frac{y}{x+F} = \frac{h}{F-d}$. При $x=0$ получаем $y_B = \frac{hF}{F-d}$. После преломления луч идёт параллельно оси $\text{x}$, то есть его уравнение $y = y_B$. Уравнение прямой, содержащей преломлённый луч и его продолжение: $y = \frac{hF}{F-d}$.

Теперь найдём точку пересечения $S'$ продолжений первых двух лучей, решив систему уравнений:$\begin{cases} y = -\frac{h}{d}x \\ y = -\frac{h}{F}x + h\end{cases}$

Приравниваем правые части: $-\frac{h}{d}x = -\frac{h}{F}x + h$. Так как $h \ne 0$, делим на $\text{h}$: $-\frac{x}{d} = -\frac{x}{F} + 1 \implies x(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}) = 1 \implies x\frac{d-F}{dF} = 1$. Отсюда координата $x_{S'}$: $x_{S'} = \frac{dF}{d-F} = -\frac{dF}{F-d}$.

Подставляем $x_{S'}$ в первое уравнение для нахождения $y_{S'}$: $y_{S'} = -\frac{h}{d}x_{S'} = -\frac{h}{d}(-\frac{dF}{F-d}) = \frac{hF}{F-d}$.

Таким образом, точка пересечения продолжений первых двух лучей $S'$ имеет координаты $(-\frac{dF}{F-d}, \frac{hF}{F-d})$.

Осталось проверить, лежит ли эта точка на прямой, содержащей продолжение третьего луча. Уравнение этой прямой $y = \frac{hF}{F-d}$. Ордината точки $S'$ в точности равна этому значению: $y_{S'} = \frac{hF}{F-d}$.

Следовательно, точка $S'$, полученная как пересечение продолжений первых двух преломлённых лучей, также лежит на продолжении третьего преломлённого луча. Это доказывает, что продолжения всех трёх лучей пересекаются в одной и той же точке.

Ответ: Аналитически показано, что координаты точки пересечения продолжений лучей 1 и 2 удовлетворяют уравнению для продолжения луча 3. Это доказывает, что продолжения всех трёх лучей пересекаются в одной точке, которая и является мнимым изображением $S'$.