Номер 6, страница 296 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 48. Построение изображений, создаваемых тонкими собирающими линзами. Упражнения - номер 6, страница 296.

Условие.

*6. Расстояние между предметом и экраном, на котором получают изображение предмета, создаваемое с помощью собирающей линзы ($F = 13 \text{ см}$), равно 1 м. Определите возможные расстояния от предмета до линзы и соответствующие коэффициенты поперечного увеличения.

Решение.

Дано:

$L = 1$ м

$F = 13$ см

Перевод в СИ:

$F = 0.13$ м

Найти:

$\text{d}$ — возможные расстояния от предмета до линзы

$\Gamma$ — соответствующие коэффициенты поперечного увеличения

Решение:

Формула тонкой собирающей линзы имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения, $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

По условию, расстояние между предметом и экраном, на котором получается действительное изображение, составляет $\text{L}$. Это расстояние равно сумме расстояния от предмета до линзы и расстояния от линзы до изображения:

$L = d + f$

Из этого соотношения выразим расстояние до изображения $\text{f}$:

$f = L - d$

Подставим это выражение в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{L - d} = \frac{1}{F}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{L - d + d}{d(L - d)} = \frac{1}{F}$

$\frac{L}{d(L - d)} = \frac{1}{F}$

Из этого уравнения получаем:

$L \cdot F = d(L - d)$

$LF = Ld - d^2$

Запишем это как квадратное уравнение относительно $\text{d}$:

$d^2 - Ld + LF = 0$

Подставим известные значения $L=1$ м и $F=0.13$ м:

$d^2 - 1 \cdot d + 1 \cdot 0.13 = 0$

$d^2 - d + 0.13 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.13 = 1 - 0.52 = 0.48$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$d_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{0.48}}{2}$

Вычислим значения корней:

$d_1 = \frac{1 + \sqrt{0.48}}{2} \approx \frac{1 + 0.693}{2} \approx 0.8465$ м

$d_2 = \frac{1 - \sqrt{0.48}}{2} \approx \frac{1 - 0.693}{2} \approx 0.1535$ м

Мы нашли два возможных расстояния от предмета до линзы. Теперь найдем соответствующие им коэффициенты поперечного увеличения $\Gamma$.

Коэффициент поперечного увеличения равен отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы:

$\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{L-d}{d}$

Рассчитаем коэффициенты для каждого случая.

1. Для расстояния $d_1 \approx 0.8465$ м:

Расстояние до изображения $f_1 = L - d_1 = 1 - 0.8465 = 0.1535$ м.

Коэффициент увеличения:

$\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1} = \frac{0.1535}{0.8465} \approx 0.181$

2. Для расстояния $d_2 \approx 0.1535$ м:

Расстояние до изображения $f_2 = L - d_2 = 1 - 0.1535 = 0.8465$ м.

Коэффициент увеличения:

$\Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2} = \frac{0.8465}{0.1535} \approx 5.51$

Округлим полученные значения до двух значащих цифр.

Ответ:

Существует два возможных решения:
1. Расстояние от предмета до линзы $d_1 \approx 0.85$ м (85 см), соответствующий коэффициент поперечного увеличения $\Gamma_1 \approx 0.18$.
2. Расстояние от предмета до линзы $d_2 \approx 0.15$ м (15 см), соответствующий коэффициент поперечного увеличения $\Gamma_2 \approx 5.5$.