Номер 66, страница 296 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 66, страница 296.

Условие.

66. Чему равно ускорение свободного падения на высоте 600 км? Во сколько раз оно меньше ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли? Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

$h = 600 \text{ км} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}$

$M = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$R = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Найти:

$g_h$ - ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$.

$\frac{g_0}{g_h}$ - отношение ускорения свободного падения у поверхности Земли к ускорению на высоте $\text{h}$.

Решение:

Чему равно ускорение свободного падения на высоте 600 км?

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра планеты массой $\text{M}$ определяется по формуле закона всемирного тяготения:

$g = \frac{G M}{r^2}$

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли расстояние до центра планеты равно $r = R + h$. Тогда формула для ускорения свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет иметь вид:

$g_h = \frac{G M}{(R + h)^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$r = R + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.6 \cdot 10^6 \text{ м} = 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}$

$g_h = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(7.0 \cdot 10^6 \text{ м})^2} = \frac{40.02 \cdot 10^{13} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}}}{49 \cdot 10^{12} \text{ м}^2} \approx 8.17 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \approx 8.17 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: Ускорение свободного падения на высоте 600 км равно примерно $8.17 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Во сколько раз оно меньше ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли?

Чтобы найти, во сколько раз ускорение на высоте $\text{h}$ меньше ускорения у поверхности Земли, нужно найти отношение $k = \frac{g_0}{g_h}$, где $g_0$ — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Формула для ускорения свободного падения у поверхности ($h=0$):

$g_0 = \frac{G M}{R^2}$

Найдем искомое отношение:

$k = \frac{g_0}{g_h} = \frac{\frac{G M}{R^2}}{\frac{G M}{(R + h)^2}} = \frac{(R + h)^2}{R^2} = \left(\frac{R + h}{R}\right)^2 = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^2$

Подставим значения (для нахождения отношения можно использовать значения в километрах, так как единицы измерения сократятся):

$k = \left(\frac{6400 \text{ км} + 600 \text{ км}}{6400 \text{ км}}\right)^2 = \left(\frac{7000}{6400}\right)^2 = \left(\frac{70}{64}\right)^2 = \left(\frac{35}{32}\right)^2$

$k = \frac{35^2}{32^2} = \frac{1225}{1024} \approx 1.2$

Таким образом, ускорение свободного падения на высоте 600 км меньше ускорения у поверхности Земли примерно в 1.2 раза.

Ответ: Ускорение свободного падения на высоте 600 км меньше, чем у поверхности Земли, примерно в 1.2 раза.