Номер 67, страница 296 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 67, страница 296.

Условие.

67. Чему равно ускорение свободного падения на высоте 3600 км? Во сколько раз оно меньше ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли? Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

$h = 3600 \text{ км}$

$M = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$R = 6400 \text{ км}$

$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Перевод в систему СИ:

$h = 3600 \cdot 10^3 \text{ м} = 3,6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

1. Ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ - $g_h$

2. Отношение ускорения свободного падения у поверхности Земли к ускорению на высоте $\text{h}$ - $\frac{g_0}{g_h}$

Решение:

Чему равно ускорение свободного падения на высоте 3600 км?

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра планеты массой $\text{M}$ определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = \frac{GM}{r^2}$

В данном случае расстояние от центра Земли до тела, находящегося на высоте $\text{h}$, равно $r = R + h$.

Таким образом, ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ ($g_h$) можно рассчитать по формуле:

$g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$

Сначала найдем расстояние $\text{r}$ в метрах:

$r = R + h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 3,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 10 \cdot 10^6 \text{ м} = 10^7 \text{ м}$

Теперь подставим все значения в формулу для $g_h$:

$g_h = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(10^7 \text{ м})^2} = \frac{40,02 \cdot 10^{13}}{10^{14}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: Ускорение свободного падения на высоте 3600 км равно примерно $4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Во сколько раз оно меньше ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли?

Чтобы найти, во сколько раз ускорение на высоте $\text{h}$ меньше ускорения у поверхности Земли ($g_0$), нужно найти их отношение $\frac{g_0}{g_h}$.

Ускорение свободного падения у поверхности Земли (где $r=R$) равно:

$g_0 = \frac{GM}{R^2}$

Ускорение на высоте $\text{h}$ равно:

$g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$

Найдем отношение, разделив одну формулу на другую:

$\frac{g_0}{g_h} = \frac{\frac{GM}{R^2}}{\frac{GM}{(R+h)^2}} = \frac{(R+h)^2}{R^2} = \left(\frac{R+h}{R}\right)^2$

Подставим значения радиуса Земли $\text{R}$ и высоты $\text{h}$. При расчете отношения можно использовать значения в километрах, так как единицы измерения сократятся:

$\frac{g_0}{g_h} = \left(\frac{6400 \text{ км} + 3600 \text{ км}}{6400 \text{ км}}\right)^2 = \left(\frac{10000}{6400}\right)^2 = \left(\frac{100}{64}\right)^2 = \left(\frac{25}{16}\right)^2$

$\frac{g_0}{g_h} = \frac{625}{256} \approx 2,44$

Ответ: Ускорение свободного падения на высоте 3600 км меньше ускорения у поверхности Земли примерно в 2,44 раза.