Номер 92, страница 298 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 92, страница 298.

Условие.

92. Колеблющийся металлический шарик, подвешенный на длинной нити, проходит положение равновесия со скоростью 0,6 м/с. На какую максимальную высоту (по отношению к положению равновесия) он поднимается во время колебаний?

Решение.

Дано:

Скорость шарика в положении равновесия, $v = 0,6$ м/с.
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с².

Найти:

Максимальную высоту подъема, $h_{max}$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При колебаниях маятника, если пренебречь сопротивлением воздуха, его полная механическая энергия остается постоянной. Полная механическая энергия $\text{E}$ складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $\text{m}$ - масса шарика, $\text{v}$ - его скорость, $\text{h}$ - высота над положением равновесия, $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия шарика.

1. В положении равновесия (нижняя точка траектории):

Высота $h_1 = 0$, поэтому потенциальная энергия $E_{p1} = 0$.
Скорость шарика в этой точке максимальна и по условию равна $v_{max} = 0,6$ м/с. Следовательно, кинетическая энергия здесь максимальна: $E_{k1} = \frac{mv_{max}^2}{2}$.
Полная механическая энергия в положении равновесия равна: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_{max}^2}{2}$.

2. В точке максимального подъема (крайняя точка траектории):

На максимальной высоте $h_{max}$ шарик на мгновение останавливается, чтобы изменить направление движения. Поэтому его скорость $v_2 = 0$, а кинетическая энергия $E_{k2} = 0$.
Потенциальная энергия в этой точке достигает своего максимального значения: $E_{p2} = mgh_{max}$.
Полная механическая энергия в этой точке равна: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = mgh_{max}$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в положении равновесия равна полной энергии в точке максимального подъема: $E_1 = E_2$.

$\frac{mv_{max}^2}{2} = mgh_{max}$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_{max}^2}{2} = gh_{max}$

Из этого выражения найдем максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = \frac{v_{max}^2}{2g}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$h_{max} = \frac{(0,6 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{0,36 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 0,018$ м.

Высоту можно также выразить в сантиметрах: $0,018 \text{ м} = 1,8$ см.

Ответ: шарик поднимается на максимальную высоту 0,018 м (или 1,8 см).