Номер 91, страница 298 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 91, страница 298.

Условие.

91. Шарик, подвешенный на длинной нити, отклонили от положения равновесия так, что его высота над землёй увеличилась на 5 см. С какой скоростью пройдёт этот шарик положение равновесия в процессе свободных колебаний?

Решение.

Дано:

$\Delta h = 5 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$\Delta h = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$\text{v}$ - скорость шарика в положении равновесия.

Решение:

Для решения данной задачи применим закон сохранения механической энергии. При свободных колебаниях, когда можно пренебречь силами сопротивления (например, сопротивлением воздуха), полная механическая энергия системы "шарик-Земля" остается постоянной.

Полная механическая энергия $\text{E}$ складывается из кинетической энергии $E_к$ и потенциальной энергии $E_п$: $E = E_к + E_п$.

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии положение равновесия шарика (самую нижнюю точку его траектории).

1. В начальном положении, когда шарик отклонен на максимальную высоту $\Delta h$, он находится в точке своего максимального подъема. В этой точке его скорость равна нулю ($v_1 = 0$), следовательно, кинетическая энергия также равна нулю ($E_{к1} = 0$). Потенциальная энергия в этом положении максимальна: $E_{п1} = mg\Delta h$.

Таким образом, полная механическая энергия в начальный момент времени равна:

$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = 0 + mg\Delta h = mg\Delta h$

2. В момент прохождения положения равновесия высота шарика над нулевым уровнем равна нулю ($h_2 = 0$), поэтому его потенциальная энергия в этой точке равна нулю ($E_{п2} = 0$). Скорость шарика в этот момент максимальна и равна $\text{v}$. Кинетическая энергия в этой точке: $E_{к2} = \frac{mv^2}{2}$.

Полная механическая энергия в момент прохождения положения равновесия:

$E_2 = E_{к2} + E_{п2} = \frac{mv^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$mg\Delta h = \frac{mv^2}{2}$

Масса шарика $\text{m}$ в уравнении сокращается. Выразим скорость $\text{v}$:

$g\Delta h = \frac{v^2}{2}$

$v^2 = 2g\Delta h$

$v = \sqrt{2g\Delta h}$

Подставим числовые значения. Ускорение свободного падения $\text{g}$ примем равным $10 \text{ м/с}^2$.

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.05 \text{ м}} = \sqrt{1} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $1 \text{ м/с}$.