Номер 97, страница 299 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 97, страница 299.

Условие.

97. Масса груза в установке, изображённой на рисунке 4.9, равна $50 \text{ г}$. Жёсткость пружины $20 \text{ Н/м}$. Будет ли в этой системе наблюдаться резонанс, если вращать ручку кривошипа с частотой 1 оборот в секунду?

Решение.

Дано:

$m = 50 \text{ г}$

$k = 20 \text{ Н/м}$

$\nu_{вн} = 1 \text{ оборот в секунду}$

$m = 50 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.05 \text{ кг}$

$\nu_{вн} = 1 \text{ Гц}$

Найти:

Будет ли в системе наблюдаться резонанс?

Решение:

Явление резонанса наступает тогда, когда частота вынуждающей силы, действующей на колебательную систему, совпадает с собственной частотой колебаний этой системы. В данном случае система представляет собой пружинный маятник (груз на пружине), а вынуждающая сила создается вращением ручки кривошипа.

Частота вынуждающей силы $\nu_{вн}$ равна частоте вращения ручки, которая дана в условии:

$\nu_{вн} = 1 \text{ оборот в секунду} = 1 \text{ Гц}$

Далее необходимо определить собственную частоту колебаний $\nu_0$ пружинного маятника. Собственная циклическая частота $\omega_0$ пружинного маятника вычисляется по формуле:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

где $\text{k}$ – жёсткость пружины, а $\text{m}$ – масса груза.

Собственная частота колебаний $\nu_0$ связана с циклической частотой $\omega_0$ следующим соотношением:

$\nu_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{20 \text{ Н/м}}{0.05 \text{ кг}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{400 \text{ с}^{-2}} = \frac{20}{2\pi} \text{ Гц} = \frac{10}{\pi} \text{ Гц}$

Для сравнения частот вычислим приближенное значение $\nu_0$, приняв $\pi \approx 3.14$:

$\nu_0 \approx \frac{10}{3.14} \approx 3.18 \text{ Гц}$

Теперь сравним частоту вынуждающей силы $\nu_{вн}$ с собственной частотой системы $\nu_0$:

$\nu_{вн} = 1 \text{ Гц}$

$\nu_0 \approx 3.18 \text{ Гц}$

Поскольку $\nu_{вн} \neq \nu_0$, и их значения значительно отличаются, условие резонанса не выполняется.

Ответ: В данной системе резонанс наблюдаться не будет, так как частота вынуждающей силы (1 Гц) не совпадает с собственной частотой колебаний системы (приблизительно 3.18 Гц).