Номер 2, страница 12 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 1. Методы изучения механического движения и взаимодействия тел. Параграф 1. Методы описания механического движения. Векторные и скалярные физические величины. Задания и упражнения - номер 2, страница 12.

Условие.

2. На рис. 9 показаны векторы перемещения велосипедиста из точки A в точку B, из точки B в точку C, из точки C в точку D. Покажите, что проекция суммы векторов перемещения на координатную ось равна алгебраической сумме проекций складываемых векторов на ту же ось, т. е. $s_x = s_{1x} + s_{2x} + s_{3x}$, $s_y = s_{1y} + s_{2y} + s_{3y}$. Длина наименьшего отрезка перемещения соответствует 1 км.

Рис. 9

Решение.

Дано:

График перемещения велосипедиста (рис. 9).
Векторы перемещения: $\vec{s_1}$ (из точки A в точку B), $\vec{s_2}$ (из точки B в точку C), $\vec{s_3}$ (из точки C в точку D).
Результирующий вектор перемещения: $\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3}$.
Масштаб: 1 клетка соответствует 1 км.

Найти:

Доказать, что $s_x = s_{1x} + s_{2x} + s_{3x}$ и $s_y = s_{1y} + s_{2y} + s_{3y}$.

Решение:

Для доказательства найдем значения проекций каждого вектора и их суммы, а также проекции результирующего вектора по данным с графика, и сравним их.

1. Определим координаты начальной и конечной точки каждого вектора по графику:
Точка A имеет координаты (1; 0).
Точка B имеет координаты (1; 2).
Точка C имеет координаты (5; 2).
Точка D имеет координаты (5; 3).

2. Найдем проекции векторов $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ и $\vec{s_3}$ на координатные оси. Проекции вектора, проведенного из точки $(x_{нач}, y_{нач})$ в точку $(x_{кон}, y_{кон})$, вычисляются по формулам: $s_x = x_{кон} - x_{нач}$ и $s_y = y_{кон} - y_{нач}$.

Для вектора $\vec{s_1}$ (из A в B):
$s_{1x} = x_B - x_A = 1 - 1 = 0$ км
$s_{1y} = y_B - y_A = 2 - 0 = 2$ км

Для вектора $\vec{s_2}$ (из B в C):
$s_{2x} = x_C - x_B = 5 - 1 = 4$ км
$s_{2y} = y_C - y_B = 2 - 2 = 0$ км

Для вектора $\vec{s_3}$ (из C в D):
$s_{3x} = x_D - x_C = 5 - 5 = 0$ км
$s_{3y} = y_D - y_C = 3 - 2 = 1$ км

3. Найдем алгебраическую сумму проекций слагаемых векторов на каждую ось:
Сумма проекций на ось X: $s_{1x} + s_{2x} + s_{3x} = 0 + 4 + 0 = 4$ км.
Сумма проекций на ось Y: $s_{1y} + s_{2y} + s_{3y} = 2 + 0 + 1 = 3$ км.

4. Найдем проекции результирующего вектора $\vec{s}$, который направлен из начальной точки A в конечную точку D:
$s_x = x_D - x_A = 5 - 1 = 4$ км
$s_y = y_D - y_A = 3 - 0 = 3$ км

5. Сравним проекции результирующего вектора с суммами проекций составляющих векторов:
Для оси X: $s_x = 4$ км и $s_{1x} + s_{2x} + s_{3x} = 4$ км. Следовательно, $s_x = s_{1x} + s_{2x} + s_{3x}$.
Для оси Y: $s_y = 3$ км и $s_{1y} + s_{2y} + s_{3y} = 3$ км. Следовательно, $s_y = s_{1y} + s_{2y} + s_{3y}$.

Равенства выполняются, что и требовалось доказать.

Ответ: На основе вычислений проекций векторов по данным графика было показано, что проекция суммы векторов на координатную ось равна алгебраической сумме проекций складываемых векторов на ту же ось: $s_x = s_{1x} + s_{2x} + s_{3x} = 4$ км и $s_y = s_{1y} + s_{2y} + s_{3y} = 3$ км.