Вариант 2, страница 56 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-2. Прямолинейное равномерное движение - страница 56.

Условие.

1. Через какое время истребитель времён Великой Отечественной войны Як-3, имевший скорость 650 км/ч, мог догнать бомбардировщик, находившийся от него на расстоянии 3 км и летевший со скоростью 500 км/ч?

2. Расстояние между городами равно 280 км. Из этих городов одновременно начали двигаться навстречу друг другу два автомобиля — первый со скоростью 90 км/ч, второй со скоростью 72 км/ч. Напишите уравнения движения автомобилей: $x_1(t) = 90t$ и $x_2(t) = 280 - 72t$. Определите время и место их встречи.

Решение.

1. Дано:

Скорость истребителя $v_и = 650$ км/ч

Скорость бомбардировщика $v_б = 500$ км/ч

Начальное расстояние $S = 3$ км

$v_и = 650 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 650 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 180.6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_б = 500 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 500 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 138.9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$S = 3 \text{ км} = 3000 \text{ м}$

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

Так как истребитель догоняет бомбардировщик, они движутся в одном направлении. Чтобы найти время, через которое истребитель догонит бомбардировщик, нужно использовать понятие относительной скорости или скорости сближения. Скорость сближения равна разности скоростей истребителя и бомбардировщика.

Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:

$v_{сбл} = v_и - v_б$

$v_{сбл} = 650 \text{ км/ч} - 500 \text{ км/ч} = 150 \text{ км/ч}$

Время, необходимое для того, чтобы догнать бомбардировщик, можно найти, разделив начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}}$

$t = \frac{3 \text{ км}}{150 \text{ км/ч}} = 0.02 \text{ ч}$

Переведем время в более удобные единицы — секунды:

$t = 0.02 \text{ ч} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 72 \text{ с}$

Ответ: Истребитель догонит бомбардировщик через 72 секунды.

2. Дано:

Расстояние между городами $S = 280$ км

Скорость первого автомобиля $v_1 = 90$ км/ч

Скорость второго автомобиля $v_2 = 72$ км/ч

$S = 280 \text{ км} = 280000 \text{ м}$
$v_1 = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Уравнения движения $x_1(t)$, $x_2(t)$; время встречи $t_{встр}$; место встречи $x_{встр}$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось ОХ вдоль дороги, соединяющей города. Начало координат ($x=0$) поместим в точку старта первого автомобиля. Тогда второй автомобиль в начальный момент времени ($t=0$) будет находиться в точке с координатой $x_{02} = S = 280$ км.

Уравнение движения тела при равномерном прямолинейном движении в общем виде:

$x(t) = x_0 + v_x t$

где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось ОХ.

Для первого автомобиля: $x_{01} = 0$, он движется в положительном направлении оси ОХ, поэтому $v_{1x} = v_1 = 90$ км/ч. Его уравнение движения:

$x_1(t) = 0 + 90t \implies x_1(t) = 90t$

Для второго автомобиля: $x_{02} = 280$ км, он движется навстречу первому, то есть в отрицательном направлении оси ОХ, поэтому $v_{2x} = -v_2 = -72$ км/ч. Его уравнение движения:

$x_2(t) = 280 - 72t$

В момент встречи $t_{встр}$ координаты автомобилей будут одинаковы: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

$90t_{встр} = 280 - 72t_{встр}$

$90t_{встр} + 72t_{встр} = 280$

$162t_{встр} = 280$

$t_{встр} = \frac{280}{162} = \frac{140}{81} \approx 1.73 \text{ ч}$

Чтобы найти место встречи $x_{встр}$, подставим найденное время в любое из уравнений движения. Используем уравнение для первого автомобиля:

$x_{встр} = x_1(t_{встр}) = 90 \cdot \frac{140}{81} = \frac{10 \cdot 140}{9} = \frac{1400}{9} \approx 155.6 \text{ км}$

Место встречи находится на расстоянии примерно 155.6 км от точки старта первого автомобиля.

Ответ: Уравнения движения автомобилей: $x_1(t) = 90t$ и $x_2(t) = 280 - 72t$, где $\text{x}$ измеряется в км, а $\text{t}$ в часах. Время встречи автомобилей составит приблизительно $1.73$ ч. Место встречи будет находиться на расстоянии приблизительно $155.6$ км от пункта отправления первого автомобиля.