Вариант 8, страница 58 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-2. Прямолинейное равномерное движение - страница 58.

Условие.

1. Из города со скоростью $18 \text{ м/с}$ выезжает автомобиль. Спустя $20 \text{ мин}$ вслед за ним выезжает второй автомобиль. С какой скоростью двигался второй автомобиль, если он догнал первый спустя $1 \text{ ч}$ после начала своего движения?

2. По прямолинейной автостраде навстречу друг другу равномерно движутся два автобуса. В начальный момент времени расстояние между ними было равно $350 \text{ м}$. Первый автобус движется со скоростью $15 \text{ м/с}$, второй — $20 \text{ м/с}$. Определите время и место их встречи.

Решение.

1. Дано:

$v_1 = 18$ м/с
$\Delta t = 20$ мин
$t_2 = 1$ час

Перевод в систему СИ:
$\Delta t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$
$t_2 = 1 \text{ час} = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$

Найти:

$v_2$ — скорость второго автомобиля.

Решение:

Пусть $S_1$ — расстояние, пройденное первым автомобилем, а $S_2$ — расстояние, пройденное вторым автомобилем. Когда второй автомобиль догонит первый, они проедут одинаковое расстояние от города, то есть $S_1 = S_2$.

Первый автомобиль был в пути дольше второго на 20 минут ($\Delta t$). Общее время движения первого автомобиля $t_1$ равно сумме времени движения второго автомобиля $t_2$ и времени форы $\Delta t$:

$t_1 = t_2 + \Delta t = 3600 \text{ с} + 1200 \text{ с} = 4800 \text{ с}$

Расстояние, пройденное первым автомобилем за это время, равно:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 18 \text{ м/с} \cdot 4800 \text{ с} = 86400 \text{ м}$

Второй автомобиль проехал то же расстояние $S_2 = S_1 = 86400$ м за время $t_2 = 3600$ с. Его скорость $v_2$ можно найти по формуле:

$v_2 = \frac{S_2}{t_2}$

Подставим значения:

$v_2 = \frac{86400 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 24 \text{ м/с}$

Можно решить задачу иначе, приравняв выражения для пройденных расстояний:

$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$

$v_1 \cdot (t_2 + \Delta t) = v_2 \cdot t_2$

Отсюда выразим $v_2$:

$v_2 = v_1 \frac{t_2 + \Delta t}{t_2} = 18 \text{ м/с} \cdot \frac{3600 \text{ с} + 1200 \text{ с}}{3600 \text{ с}} = 18 \cdot \frac{4800}{3600} = 18 \cdot \frac{4}{3} = 24 \text{ м/с}$

Ответ: скорость второго автомобиля была 24 м/с.

2. Дано:

$S_0 = 350$ м
$v_1 = 15$ м/с
$v_2 = 20$ м/с

Найти:

$t_{встр}$ — время встречи
$x_{встр}$ — место встречи

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось $\text{OX}$ по направлению движения первого автобуса, а начало координат ($x=0$) поместим в точку, где в начальный момент времени находился первый автобус. Тогда начальная координата второго автобуса будет $x_{02} = S_0 = 350$ м.

Поскольку автобусы движутся равномерно, их уравнения движения имеют вид $x(t) = x_0 + v_x t$:

Для первого автобуса: $x_1(t) = v_1 t = 15t$

Для второго автобуса (он движется навстречу, то есть его проекция скорости на ось $\text{OX}$ отрицательна): $x_2(t) = x_{02} - v_2 t = 350 - 20t$

В момент встречи $t_{встр}$ их координаты будут равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$

$15t_{встр} = 350 - 20t_{встр}$

Решим это уравнение относительно $t_{встр}$:

$15t_{встр} + 20t_{встр} = 350$

$35t_{встр} = 350$

$t_{встр} = \frac{350}{35} = 10 \text{ с}$

Теперь найдем место встречи, подставив найденное время в уравнение движения любого из автобусов. Например, для первого:

$x_{встр} = x_1(10) = 15 \cdot 10 = 150 \text{ м}$

Это означает, что автобусы встретятся на расстоянии 150 м от начального положения первого автобуса.

Ответ: автобусы встретятся через 10 с на расстоянии 150 м от начального положения первого автобуса.