Вариант 2, страница 59 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-3. Прямолинейное равномерное движение. Графические задачи - страница 59.

Условие.

1. Графики движения двух тел представлены на рисунке 94. Напишите уравнения движения $x = x(t)$ этих тел. Определите место и время их встречи графически и аналитически (с помощью уравнений движения).

2. Даны уравнения движения двух тел: $x_1 = 4 + 2t$ (м) и $x_2 = 8 - 2t$ (м). Постройте графики движения этих тел и определите место и время их встречи графически и аналитически.

Рис. 94

Решение.

1. Дано:

График зависимости координаты от времени $x(t)$ для двух тел (Рис. 94). Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

1. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

2. Время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ встречи графически.

3. Время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ встречи аналитически.

Решение:

а) Составление уравнений движения.

Так как графики зависимости координаты от времени являются прямыми линиями, движение тел является равномерным и прямолинейным. Уравнение такого движения в общем виде: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата (координата в момент времени $t=0$), а $v_x$ — проекция скорости на ось Ох.

Для первого тела (график 1):

Из графика определяем начальную координату: при $t=0$, $x_1 = 0$ м. Значит, $x_{01} = 0$ м.

Для определения скорости $v_{1x}$ выберем на графике точку, например, с координатами $t = 4$ с и $x = 4$ м. Скорость равна тангенсу угла наклона графика:

$v_{1x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 \text{ м} - 0 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$.

Подставляем найденные значения в общую формулу. Уравнение движения первого тела: $x_1(t) = 0 + 1 \cdot t$, или $x_1(t) = t$.

Для второго тела (график 2):

Из графика определяем начальную координату: при $t=0$, $x_2 = 4$ м. Значит, $x_{02} = 4$ м.

Для определения скорости $v_{2x}$ выберем на графике точку, например, с координатами $t = 4$ с и $x = 0$ м.

$v_{2x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 \text{ м} - 4 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = -1 \text{ м/с}$.

Подставляем найденные значения в общую формулу. Уравнение движения второго тела: $x_2(t) = 4 - 1 \cdot t$, или $x_2(t) = 4 - t$.

б) Определение места и времени встречи графически.

Встреча тел происходит в тот момент времени, когда их координаты равны. На графике это соответствует точке пересечения линий. По графику видно, что точка пересечения имеет координаты $t = 2$ с и $x = 2$ м.

в) Определение места и времени встречи аналитически.

В момент встречи $t_{встр}$ координаты тел должны быть одинаковы: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$. Приравняем полученные уравнения:

$t_{встр} = 4 - t_{встр}$

$2t_{встр} = 4$

$t_{встр} = 2$ с.

Чтобы найти координату встречи $x_{встр}$, подставим найденное время в любое из уравнений движения:

$x_{встр} = x_1(2) = 2$ м.

Проверим с помощью второго уравнения: $x_{встр} = x_2(2) = 4 - 2 = 2$ м.

Аналитический расчет подтверждает данные, полученные из графика.

Ответ: Уравнения движения тел: $x_1(t) = t$ и $x_2(t) = 4 - t$. Тела встретятся в момент времени $t = 2$ с в точке с координатой $x = 2$ м.

2. Дано:

Уравнение движения первого тела: $x_1 = 4 + 2t$ (м).

Уравнение движения второго тела: $x_2 = 8 - 2t$ (м).

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

1. Построить графики движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

2. Время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ встречи графически.

3. Время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ встречи аналитически.

Решение:

а) Аналитическое определение места и времени встречи.

В момент встречи координаты тел равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

Приравняем правые части данных уравнений:

$4 + 2t_{встр} = 8 - 2t_{встр}$

Решим это уравнение относительно $t_{встр}$:

$2t_{встр} + 2t_{встр} = 8 - 4$

$4t_{встр} = 4$

$t_{встр} = 1$ с.

Теперь найдем координату встречи $x_{встр}$, подставив $t_{встр} = 1$ с в любое из уравнений:

$x_{встр} = x_1(1) = 4 + 2 \cdot 1 = 6$ м.

Проверка по второму уравнению: $x_{встр} = x_2(1) = 8 - 2 \cdot 1 = 6$ м.

Итак, аналитически найдено, что встреча произойдет через 1 с в точке с координатой 6 м.

б) Построение графиков и графическое определение места и времени встречи.

Оба уравнения вида $x = x_0 + v_x t$ описывают равномерное прямолинейное движение, их графики — прямые линии. Для построения каждой прямой найдем координаты двух точек.

Для первого тела ($x_1 = 4 + 2t$):

1. При $t = 0$ с, $x_1 = 4 + 2 \cdot 0 = 4$ м. Точка (0; 4).

2. При $t = 2$ с, $x_1 = 4 + 2 \cdot 2 = 8$ м. Точка (2; 8).

Для второго тела ($x_2 = 8 - 2t$):

1. При $t = 0$ с, $x_2 = 8 - 2 \cdot 0 = 8$ м. Точка (0; 8).

2. При $t = 2$ с, $x_2 = 8 - 2 \cdot 2 = 4$ м. Точка (2; 4).

Построим систему координат, отложив по горизонтальной оси время $\text{t}$ в секундах, а по вертикальной — координату $\text{x}$ в метрах. Нанесем вычисленные точки для каждого тела и проведем через них прямые. Точка пересечения этих двух прямых на графике и будет соответствовать моменту и месту встречи тел. При точном построении графики пересекутся в точке с координатами $(1; 6)$.

Таким образом, графический метод дает тот же результат: время встречи $t_{встр} = 1$ с, место встречи $x_{встр} = 6$ м.

Ответ: Тела встретятся в момент времени $t = 1$ с в точке с координатой $x = 6$ м. Графики движения представляют собой две прямые, пересекающиеся в точке с координатами (1; 6).