Вариант 10, страница 58 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-2. Прямолинейное равномерное движение - страница 58.

Условие.

1. Наблюдая с платформы за равномерно движущимся поездом, мальчик определил, что мимо него поезд прошёл за 24 с, а мимо всей платформы длиной 120 м — за 40 с. Чему равна скорость поезда?

2. Из двух населённых пунктов, находящихся на расстоянии 2,5 км, одновременно в одну сторону начинают двигаться автомобиль и мотоцикл. Скорость автомобиля 20 км/ч, а мотоцикла 10 км/ч. Через какое время и где автомобиль догонит мотоцикл?

Решение.

1. Дано:

$t_1 = 24$ с

$L_п = 120$ м

$t_2 = 40$ с

Найти:

$\text{v}$ - скорость поезда

Решение:

Пусть $L_т$ - длина поезда, а $\text{v}$ - его скорость. Движение поезда равномерное.

Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя (мальчика), он преодолевает расстояние, равное своей длине $L_т$. Время этого движения равно $t_1$.

Следовательно, мы можем записать первое уравнение: $L_т = v \cdot t_1$.

Когда поезд проходит мимо платформы длиной $L_п$, он должен преодолеть расстояние, равное сумме длины платформы и длины самого поезда. Это происходит за время $t_2$.

Отсюда получаем второе уравнение: $L_т + L_п = v \cdot t_2$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($L_т$ и $\text{v}$):

$\begin{cases} L_т = v \cdot t_1 \\ L_т + L_п = v \cdot t_2 \end{cases}$

Подставим выражение для $L_т$ из первого уравнения во второе:

$v \cdot t_1 + L_п = v \cdot t_2$

Теперь выразим скорость $\text{v}$ из этого уравнения:

$L_п = v \cdot t_2 - v \cdot t_1$

$L_п = v \cdot (t_2 - t_1)$

$v = \frac{L_п}{t_2 - t_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \frac{120 \text{ м}}{40 \text{ с} - 24 \text{ с}} = \frac{120 \text{ м}}{16 \text{ с}} = 7.5 \text{ м/с}$

Ответ: скорость поезда равна 7,5 м/с.

2. Дано:

$S = 2.5$ км

$v_а = 20$ км/ч

$v_м = 10$ км/ч

Перевод в СИ:

$S = 2.5 \text{ км} = 2.5 \cdot 1000 \text{ м} = 2500 \text{ м}$

$v_а = 20 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{20 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{200}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{50}{9} \text{ м/с} \approx 5.56 \text{ м/с}$

$v_м = 10 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{10 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{25}{9} \text{ м/с} \approx 2.78 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{t}$ - время до встречи

$\text{x}$ - место встречи

Решение:

Так как автомобиль движется быстрее мотоцикла и в том же направлении, он будет его догонять. Выберем систему отсчета, связанную с землей, а за начало координат ($x_0 = 0$) примем точку старта автомобиля. Тогда начальная координата мотоцикла будет $S = 2.5$ км.

Запишем уравнения движения для автомобиля и мотоцикла:

Уравнение движения автомобиля: $x_а(t) = v_а \cdot t$

Уравнение движения мотоцикла: $x_м(t) = S + v_м \cdot t$

Автомобиль догонит мотоцикл в тот момент времени $\text{t}$, когда их координаты станут равны, то есть $x_а(t) = x_м(t)$.

$v_а \cdot t = S + v_м \cdot t$

Решим это уравнение относительно времени $\text{t}$:

$v_а \cdot t - v_м \cdot t = S$

$(v_а - v_м) \cdot t = S$

$t = \frac{S}{v_а - v_м}$

Выражение $v_а - v_м$ представляет собой скорость сближения автомобиля и мотоцикла.

Подставим числовые значения. Удобнее производить расчеты в километрах и часах, так как все данные приведены в этих единицах.

$t = \frac{2.5 \text{ км}}{20 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч}} = \frac{2.5 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0.25 \text{ ч}$

Это время можно перевести в минуты: $0.25 \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 15 \text{ минут}$.

Теперь найдем место, где произойдет встреча. Для этого подставим найденное время $\text{t}$ в уравнение движения автомобиля (можно и в уравнение для мотоцикла, результат будет тот же).

$x = v_а \cdot t = 20 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 0.25 \text{ ч} = 5 \text{ км}$

Это расстояние от точки старта автомобиля.

Ответ: автомобиль догонит мотоцикл через 0,25 ч (или 15 минут) на расстоянии 5 км от своего места старта.