Вариант 6, страница 57 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-2. Прямолинейное равномерное движение - страница 57.

Условие.

1. Состав длиной 1 км входит в туннель длиной 2 км. Определите время, в течение которого какая-либо часть поезда будет находиться в туннеле, если скорость поезда равна 36 км/ч.

2. Расстояние между двумя городами А и В равно 405 км. Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают два автомобиля со скоростями соответственно 72 и 90 км/ч. Напишите уравнения движения автомобилей $x = x(t)$ и определите место и время их встречи.

Решение.

1. Дано:

Длина состава, $L_{с} = 1$ км

Длина туннеля, $L_{т} = 2$ км

Скорость поезда, $v = 36$ км/ч

Перевод в СИ:

$L_{с} = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

$L_{т} = 2 \text{ км} = 2000 \text{ м}$

$v = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Время, $\text{t}$ - ?

Решение:

Период времени, в течение которого какая-либо часть поезда находится в туннеле, начинается с момента, когда головная часть состава въезжает в туннель, и заканчивается моментом, когда хвостовая часть состава покидает туннель.

За это время головная часть поезда должна пройти расстояние, равное сумме длины туннеля и длины самого состава. Обозначим это расстояние как $\text{S}$.

$S = L_{т} + L_{с}$

Подставим значения:

$S = 2 \text{ км} + 1 \text{ км} = 3 \text{ км}$

Время движения $\text{t}$ можно найти по формуле равномерного движения:

$t = \frac{S}{v}$

$t = \frac{3 \text{ км}}{36 \text{ км/ч}} = \frac{1}{12} \text{ ч}$

Переведем время в минуты для наглядности:

$t = \frac{1}{12} \cdot 60 \text{ мин} = 5 \text{ мин}$

Проверим расчеты в системе СИ:

$S = 2000 \text{ м} + 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

$t = \frac{3000 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 300 \text{ с}$

$300 \text{ с} = 5 \text{ мин}$

Ответ: 5 минут (или 300 секунд).

2. Дано:

Расстояние между городами, $S = 405$ км

Скорость первого автомобиля, $v_1 = 72$ км/ч

Скорость второго автомобиля, $v_2 = 90$ км/ч

Перевод в СИ:

$S = 405 \text{ км} = 405000 \text{ м}$

$v_1 = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$, время встречи $t_{встр}$, место встречи $x_{встр}$.

Решение:

Выберем систему отсчета. Пусть город А является началом координат ($x=0$), а ось ОХ направлена от города А к городу В. Тогда город В будет иметь координату $x = 405$ км.

Уравнение движения для тела, движущегося равномерно и прямолинейно, имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось ОХ.

Для первого автомобиля, выезжающего из города А:

Начальная координата $x_{01} = 0$. Скорость направлена вдоль оси ОХ, поэтому $v_{1x} = 72$ км/ч.

Уравнение движения первого автомобиля: $x_1(t) = 0 + 72t = 72t$.

Для второго автомобиля, выезжающего из города В:

Начальная координата $x_{02} = 405$ км. Скорость направлена против оси ОХ, поэтому ее проекция отрицательна: $v_{2x} = -90$ км/ч.

Уравнение движения второго автомобиля: $x_2(t) = 405 - 90t$.

В момент встречи $t_{встр}$ координаты автомобилей будут одинаковы: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

Приравняем правые части уравнений:

$72t_{встр} = 405 - 90t_{встр}$

$72t_{встр} + 90t_{встр} = 405$

$162t_{встр} = 405$

$t_{встр} = \frac{405}{162} = 2.5 \text{ ч}$

Чтобы найти место встречи $x_{встр}$, подставим найденное время в любое из уравнений движения. Возьмем уравнение для первого автомобиля:

$x_{встр} = 72 \cdot 2.5 = 180 \text{ км}$

Следовательно, автомобили встретятся через 2,5 часа на расстоянии 180 км от города А.

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 72t$ и $x_2(t) = 405 - 90t$ (где $\text{x}$ измеряется в км, а $\text{t}$ в часах). Время встречи равно 2,5 ч. Место встречи — на расстоянии 180 км от города А.