Вариант 10, страница 55 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-1. Путь и перемещение - страница 55.

Условие.

1. Велосипедист, двигаясь прямолинейно, проехал 10 м, затем сделал поворот, описав четверть окружности радиусом 10 м, и проехал далее перпендикулярно первоначальному направлению движения ещё 10 м. Сделайте поясняющий чертёж, найдите пройденный велосипедистом путь и модуль перемещения.

2. По заданной траектории движения тела постройте вектор его перемещения (рис. 91).

Рис. 91

Решение.

1. Дано:

Длина первого прямолинейного участка $s_1 = 10$ м
Радиус поворота $R = 10$ м
Длина второго прямолинейного участка $s_3 = 10$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Пройденный путь $\text{S}$ - ?
Модуль перемещения $|\vec{r}|$ - ?

Решение:

Сделаем поясняющий чертёж. Траектория движения велосипедиста состоит из трёх последовательных участков:
1. Прямолинейный участок $\text{AB}$ длиной $s_1 = 10$ м.
2. Участок в виде четверти окружности $\text{BC}$ радиусом $R = 10$ м.
3. Прямолинейный участок $\text{CD}$ длиной $s_3 = 10$ м, который перпендикулярен первоначальному направлению движения ($\text{AB}$).

Путь $\text{S}$ — это длина всей траектории. Он равен сумме длин всех участков:

$S = s_1 + s_2 + s_3$

Длина дуги $s_2$, которая составляет четверть окружности, вычисляется по формуле:

$s_2 = \frac{1}{4} \cdot (2 \pi R) = \frac{\pi R}{2}$

Подставим известные значения:

$s_2 = \frac{\pi \cdot 10}{2} = 5\pi$ м.

Теперь найдём общий пройденный путь:

$S = 10 + 5\pi + 10 = 20 + 5\pi$ м.

Для численной оценки примем $\pi \approx 3.14$:

$S \approx 20 + 5 \cdot 3.14 = 20 + 15.7 = 35.7$ м.

Перемещение — это вектор $\vec{r}$, соединяющий начальную точку траектории (A) с конечной (D). Модуль перемещения $|\vec{r}|$ — это длина этого вектора.

Для нахождения модуля перемещения введём прямоугольную систему координат. Пусть точка старта A находится в начале координат $(0, 0)$, а начальное движение происходит вдоль оси Ox.

Тогда координаты точек траектории будут следующими:

- Начальная точка: $A(0, 0)$.

- Конец первого участка: $B(10, 0)$.

- Конец дуги: поворот на четверть окружности радиусом $R=10$ м смещает тело на $\text{R}$ по оси Ox и на $\text{R}$ по оси Oy относительно центра поворота. Координаты точки $\text{C}$ будут $(10+R, R)$, то есть $C(20, 10)$.

- Конечная точка: движение на 10 м перпендикулярно начальному направлению (вдоль оси Oy) из точки C. Конечная точка $\text{D}$ будет иметь координаты $(20, 10+10)$, то есть $D(20, 20)$.

Модуль вектора перемещения $\vec{r} = \vec{AD}$ найдём как расстояние между точками A и D по теореме Пифагора:

$|\vec{r}| = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(20 - 0)^2 + (20 - 0)^2} = \sqrt{20^2 + 20^2}$

$|\vec{r}| = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ м.

Для численной оценки примем $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$|\vec{r}| \approx 20 \cdot 1.414 = 28.28$ м.

Ответ: пройденный путь $S = 20 + 5\pi$ м $\approx 35.7$ м; модуль перемещения $|\vec{r}| = 20\sqrt{2}$ м $\approx 28.28$ м.

2. Вектор перемещения — это направленный отрезок (вектор), который соединяет начальное положение тела с его конечным положением. Направление вектора указывает от начальной точки к конечной.

В задаче дана траектория движения тела, которая проходит из точки A в точку B, а затем в точку C. Таким образом:

- Начальная точка движения — A.

- Конечная точка движения — C.

Чтобы построить вектор перемещения, необходимо провести на рисунке 91 направленный отрезок из начальной точки A в конечную точку C. Стрелка на конце этого отрезка должна быть у точки C.

Ответ: Вектор перемещения — это вектор, проведённый из начальной точки A в конечную точку C (вектор $\vec{AC}$).