Вариант 7, страница 61 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-3. Прямолинейное равномерное движение. Графические задачи - страница 61.

Условие.

1. Графики движения двух тел представлены на рисунке 99. Напишите уравнения движения $x = x(t)$ этих тел. Определите место и время их встречи графически и аналитически (с помощью уравнений движения).

2. Даны уравнения движения двух тел: $x_1 = 12t$ (м) и $x_2 = 110 - 10t$ (м). Постройте графики движения этих тел и определите место и время их встречи графически и аналитически.

Рис. 99

Решение.

1. 1. Написание уравнений движения $x = x(t)$

Графики движения обоих тел представляют собой прямые линии, следовательно, движение является равномерным и прямолинейным. Общий вид уравнения для такого движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось Ox.

Для тела 1 (график 1):
Из графика определяем начальную координату (при $t=0$): $x_{01} = 20$ м.
Для определения скорости выберем две точки на графике, например, (0 с; 20 м) и (20 с; 60 м).
Проекция скорости: $v_{1x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{60 \text{ м} - 20 \text{ м}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{40}{20} = 2$ м/с.
Таким образом, уравнение движения для первого тела: $x_1(t) = 20 + 2t$.

Для тела 2 (график 2):
Из графика определяем начальную координату (при $t=0$): $x_{02} = -20$ м.
Для определения скорости выберем две точки на графике, например, (0 с; -20 м) и (10 с; 20 м).
Проекция скорости: $v_{2x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{20 \text{ м} - (-20 \text{ м})}{10 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{40}{10} = 4$ м/с.
Таким образом, уравнение движения для второго тела: $x_2(t) = -20 + 4t$.

2. Определение места и времени встречи

Графически:
Место и время встречи тел соответствуют точке пересечения их графиков движения. По рисунку 99 видно, что графики пересекаются в точке с координатами: время $t = 20$ с, координата $x = 60$ м.

Аналитически:
В момент встречи координаты тел равны: $x_1(t) = x_2(t)$.
Составим и решим уравнение:
$20 + 2t = -20 + 4t$
$4t - 2t = 20 + 20$
$2t = 40$
$t = 20$ с.
Найдем координату встречи, подставив найденное время в любое из уравнений:
$x = 20 + 2 \cdot 20 = 20 + 40 = 60$ м.
Аналитический расчет полностью совпадает с графическим.

Ответ: Уравнения движения: $x_1 = 20 + 2t$ (м), $x_2 = -20 + 4t$ (м). Тела встретятся в момент времени $t = 20$ с в точке с координатой $x = 60$ м.

2. Дано:

Уравнение движения тела 1: $x_1 = 12t$ (м)
Уравнение движения тела 2: $x_2 = 110 - 10t$ (м)

Все величины заданы в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$t_{встр}$ — ?
$x_{встр}$ — ?

Решение:

1. Аналитическое определение места и времени встречи

Встреча тел произойдет, когда их координаты будут равны: $x_1(t) = x_2(t)$.
Приравняем правые части уравнений движения:
$12t = 110 - 10t$
$12t + 10t = 110$
$22t = 110$
$t = \frac{110}{22} = 5$ с.
Это время встречи. Теперь найдем координату встречи, подставив значение $\text{t}$ в любое из уравнений:
$x_{встр} = 12 \cdot 5 = 60$ м.

2. Построение графиков и графическое определение встречи

Оба уравнения движения являются линейными функциями, поэтому их графики в координатах $(t, x)$ — это прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для графика $x_1 = 12t$:
- при $t=0$ с, $x_1=0$ м. Точка (0; 0).
- при $t=5$ с, $x_1=12 \cdot 5 = 60$ м. Точка (5; 60).

Для графика $x_2 = 110 - 10t$:
- при $t=0$ с, $x_2=110$ м. Точка (0; 110).
- при $t=5$ с, $x_2=110 - 10 \cdot 5 = 60$ м. Точка (5; 60).

Построив эти две прямые в одной системе координат (ось абсцисс - время $\text{t}$, ось ординат - координата $\text{x}$), мы увидим, что они пересекаются. Координаты точки пересечения соответствуют времени и месту встречи. Из расчетов видно, что точка пересечения имеет координаты (5 с; 60 м).

Ответ: Тела встретятся в момент времени $t = 5$ с в точке с координатой $x = 60$ м.