Вариант 10, страница 62 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-3. Прямолинейное равномерное движение. Графические задачи - страница 62.

Условие.

1. Графики движения двух тел представлены на рисунке 102. Напишите уравнения движения $x = x(t)$ этих тел. Определите место и время их встречи графически и аналитически (с помощью уравнений движения).

2. Даны уравнения движения двух тел: $x_1 = 20 - 4t$ (м) и $x_2 = 10 + t$ (м). Постройте графики движения этих тел и определите место и время их встречи графически и аналитически.

Рис. 102

Решение.

1. Для решения задачи проанализируем графики движения, представленные на рисунке. Оба графика являются прямыми линиями, что соответствует равномерному прямолинейному движению, уравнение которого имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось OX.

Уравнения движения:

Для тела 1:
График 1 представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через координату $x = -2$. Это означает, что координата тела не меняется со временем. Начальная координата $x_{01} = -2$ м, а скорость тела $v_{x1} = 0$ м/с. Таким образом, уравнение движения для первого тела: $x_1(t) = -2$.

Для тела 2:
График 2 представляет собой наклонную прямую, проходящую через начало координат. В начальный момент времени $t=0$ координата тела $x=0$, следовательно, начальная координата $x_{02} = 0$ м. Для определения скорости выберем на графике вторую точку, например, при $t=4$ с, координата $x=-4$ м. Проекция скорости $v_{x2}$ равна тангенсу угла наклона графика к оси времени: $v_{x2} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-4 \text{ м} - 0 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = -1$ м/с. Таким образом, уравнение движения для второго тела: $x_2(t) = -t$.

Определение места и времени встречи:

Графический способ:
Место и время встречи тел на графике — это точка пересечения их графиков движения. Из рисунка 102 видно, что графики 1 и 2 пересекаются в точке, абсцисса (время) которой равна 2 с, а ордината (координата) равна -2 м. Следовательно, тела встретятся через 2 секунды после начала движения в точке с координатой -2 м.

Аналитический способ:
В момент встречи координаты тел должны быть равны: $x_1(t) = x_2(t)$. Подставим полученные уравнения движения: $-2 = -t$
Отсюда находим время встречи: $t = 2$ с.
Теперь найдем координату встречи, подставив найденное время в любое из уравнений движения: $x = -2$ м. Результаты, полученные графическим и аналитическим способами, совпадают.

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = -2$ (м), $x_2(t) = -t$ (м). Тела встретятся в момент времени $t = 2$ с в точке с координатой $x = -2$ м.

2. Дано:

Уравнение движения первого тела: $x_1 = 20 - 4t$ (м)
Уравнение движения второго тела: $x_2 = 10 + t$ (м)

Найти:

1. Построить графики движения $x(t)$.
2. Определить место и время встречи графически.
3. Определить место и время встречи аналитически.

Решение:

Оба уравнения описывают равномерное прямолинейное движение вида $x(t) = x_0 + v_x t$.

Аналитический способ:
Найдем время и место встречи, приравняв уравнения координат, так как в момент встречи $x_1(t) = x_2(t)$: $20 - 4t = 10 + t$
$20 - 10 = 4t + t$
$10 = 5t$
$t = \frac{10}{5} = 2$ с.
Теперь найдем координату встречи, подставив время $t = 2$ с в любое из уравнений, например, во второе: $x = 10 + 2 = 12$ м.
Проверка по первому уравнению: $x = 20 - 4 \cdot 2 = 20 - 8 = 12$ м.
Итак, тела встретятся в момент времени $t = 2$ с в точке с координатой $x = 12$ м.

Построение графиков и графический способ:
Для построения графиков движения необходимо построить две прямые в системе координат $x(t)$. Для построения прямой достаточно двух точек.

Для первого тела ($x_1 = 20 - 4t$):
- При $t=0$, $x_1 = 20 - 4 \cdot 0 = 20$. Точка (0; 20).
- При $t=5$, $x_1 = 20 - 4 \cdot 5 = 0$. Точка (5; 0).
Проводим прямую через эти две точки.

Для второго тела ($x_2 = 10 + t$):
- При $t=0$, $x_2 = 10 + 0 = 10$. Точка (0; 10).
- При $t=2$, $x_2 = 10 + 2 = 12$. Точка (2; 12).
Проводим прямую через эти две точки.

Построив оба графика в одной системе координат (ось абсцисс — время $\text{t}$ в секундах, ось ординат — координата $\text{x}$ в метрах), мы найдем точку их пересечения. Координаты этой точки и будут искомым временем и местом встречи. Точка пересечения построенных графиков имеет координаты $(2; 12)$. Это означает, что время встречи $t = 2$ с, а координата встречи $x = 12$ м. Результаты, полученные графическим и аналитическим способами, совпадают.

Ответ: Тела встретятся в момент времени $t=2$ с в точке с координатой $x=12$ м. Графики движения представляют собой две пересекающиеся прямые, точка пересечения которых имеет координаты $(2; 12)$.