Вариант 9, страница 61 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-3. Прямолинейное равномерное движение. Графические задачи - страница 61.

Условие.

1. Графики движения двух тел представлены на рисунке 101. Напишите уравнения движения $x = x(t)$ этих тел. Определите место и время их встречи графически и аналитически (с помощью уравнений движения).

2. Даны уравнения движения двух тел: $x_1 = 5t$ (м) и $x_2 = 150 - 10t$ (м). Постройте графики движения этих тел и определите место и время их встречи графически и аналитически.

Рис. 101

Решение.

1. Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось OX.

Напишем уравнения движения для каждого тела.
Для тела 1 (график 1):
Из графика находим начальную координату (при $t = 0$): $x_{01} = 20$ м.
Для определения скорости выберем две точки на графике, например, $(0; 20)$ и $(10; 0)$.
Проекция скорости: $v_{1x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 \text{ м} - 20 \text{ м}}{10 \text{ с} - 0 \text{ с}} = -2$ м/с.
Таким образом, уравнение движения для тела 1: $x_1(t) = 20 - 2t$.

Для тела 2 (график 2):
Из графика видно, что точка пересечения (встречи) имеет координаты $t = 5$ с и $x = 10$ м. График 2 также проходит через точку $(20; 20)$.
Проекция скорости: $v_{2x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{20 \text{ м} - 10 \text{ м}}{20 \text{ с} - 5 \text{ с}} = \frac{10 \text{ м}}{15 \text{ с}} = \frac{2}{3}$ м/с.
Найдём начальную координату $x_{02}$, используя точку $(5; 10)$:
$10 = x_{02} + \frac{2}{3} \cdot 5 \implies x_{02} = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ м.
Таким образом, уравнение движения для тела 2: $x_2(t) = \frac{20}{3} + \frac{2}{3}t$.

Определим место и время встречи графически.
Точка пересечения графиков на рисунке 101 соответствует моменту и месту встречи тел. Координаты этой точки: $t = 5$ с и $x = 10$ м.

Определим место и время встречи аналитически.
В момент встречи координаты тел равны: $x_1(t) = x_2(t)$.
$20 - 2t = \frac{20}{3} + \frac{2}{3}t$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:
$60 - 6t = 20 + 2t$
$40 = 8t$
$t = 5$ с.
Теперь найдём координату встречи, подставив время в первое уравнение:
$x = 20 - 2 \cdot 5 = 20 - 10 = 10$ м.

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 20 - 2t$ (м), $x_2(t) = \frac{20}{3} + \frac{2}{3}t$ (м). Тела встретятся через $\text{5}$ с после начала движения в точке с координатой $\text{10}$ м.

2. Дано:

$x_1 = 5t$ (м)
$x_2 = 150 - 10t$ (м)

Найти:

$t_{встр}$ — ?
$x_{встр}$ — ?

Решение:

Построение графиков и графическое определение места и времени встречи.
Оба уравнения описывают равномерное прямолинейное движение, графиками которого являются прямые линии. Для построения каждой прямой найдём координаты двух точек.

Для графика $x_1 = 5t$:
- при $t = 0$ с, $x_1 = 0$ м. Точка (0; 0).
- при $t = 10$ с, $x_1 = 5 \cdot 10 = 50$ м. Точка (10; 50).

Для графика $x_2 = 150 - 10t$:
- при $t = 0$ с, $x_2 = 150$ м. Точка (0; 150).
- при $t = 10$ с, $x_2 = 150 - 10 \cdot 10 = 50$ м. Точка (10; 50).

Построив графики в одной системе координат (ось абсцисс — время $\text{t}$, ось ординат — координата $\text{x}$), мы увидим, что они пересекаются в точке с координатами $(10; 50)$. Это и есть время и место встречи.
Таким образом, из графиков следует, что время встречи $t_{встр} = 10$ с, а место встречи $x_{встр} = 50$ м.

Аналитическое определение места и времени встречи.
В момент встречи координаты тел должны быть одинаковы, то есть $x_1 = x_2$.
$5t = 150 - 10t$
$5t + 10t = 150$
$15t = 150$
$t = \frac{150}{15} = 10$ с.
Найдём координату встречи, подставив значение времени в любое из уравнений:
$x = 5t = 5 \cdot 10 = 50$ м.

Ответ: Тела встретятся через $\text{10}$ с после начала движения в точке с координатой $\text{50}$ м.