Вариант 6, страница 60 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-3. Прямолинейное равномерное движение. Графические задачи - страница 60.

Условие.

1. Графики движения двух тел представлены на рисунке 98. Напишите уравнения движения $x = x(t)$ этих тел. Определите место и время их встречи графически и аналитически (с помощью уравнений движения).

2. Даны уравнения движения двух тел: $x_1 = 3 + 2t$ (м) и $x_2 = 6 + t$ (м). Постройте графики движения этих тел и определите место и время их встречи графически и аналитически.

Рис. 98

Решение.

1. Решение

Уравнение равномерного прямолинейного движения имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ – начальная координата (координата в момент времени $t=0$), а $v_x$ – проекция скорости на ось Ох, которая является постоянной величиной.

Написание уравнений движения $x=x(t)$

Для тела 1:

Из графика находим начальную координату (при $t=0$): $x_{01} = -10$ м. Чтобы найти скорость, возьмем еще одну точку на графике, например, при $t=5$ с, координата $x_1 = 0$ м. Скорость тела 1: $v_{x1} = \frac{\Delta x_1}{\Delta t} = \frac{x_1(t) - x_{01}}{t - 0} = \frac{0 - (-10) \text{ м}}{5 - 0 \text{ с}} = \frac{10}{5} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Таким образом, уравнение движения для первого тела: $x_1(t) = -10 + 2t$.

Для тела 2:

Из графика находим начальную координату (при $t=0$): $x_{02} = 5$ м. При $t=5$ с, координата $x_2 = 0$ м. Скорость тела 2: $v_{x2} = \frac{\Delta x_2}{\Delta t} = \frac{x_2(t) - x_{02}}{t - 0} = \frac{0 - 5 \text{ м}}{5 - 0 \text{ с}} = \frac{-5}{5} \frac{\text{м}}{\text{с}} = -1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Таким образом, уравнение движения для второго тела: $x_2(t) = 5 - t$.

Определение места и времени встречи

Графический способ:

Место и время встречи тел соответствуют точке пересечения их графиков движения. На рисунке 98 видно, что графики 1 и 2 пересекаются в точке с координатами ($t = 5$ с; $x = 0$ м). Следовательно, тела встретятся через 5 секунд в начале отсчета.

Аналитический способ:

В момент встречи координаты тел равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$. Приравняем полученные уравнения движения:

$-10 + 2t = 5 - t$

$2t + t = 5 + 10$

$3t = 15$

$t = 5$ с.

Теперь найдем координату встречи, подставив значение времени $t=5$ с в любое из уравнений:

$x = x_2(5) = 5 - 5 = 0$ м.

Аналитический расчет подтверждает результаты, полученные из графика.

Ответ: Уравнения движения тел: $x_1(t) = -10 + 2t$ (м), $x_2(t) = 5 - t$ (м). Место встречи: $x = 0$ м, время встречи: $t = 5$ с.

2. Дано:

$x_1 = 3 + 2t$ (м)

$x_2 = 6 + t$ (м)

Найти:

Построить графики $x(t)$, найти $t_{встр}$ и $x_{встр}$ графически и аналитически.

Решение:

Построение графиков движения

Оба уравнения являются линейными функциями вида $x(t) = x_0 + v_x t$, следовательно, их графики - прямые линии. Для построения каждой прямой найдем координаты двух точек.

Для тела 1 ($x_1 = 3 + 2t$):

Если $t = 0$ с, то $x_1 = 3 + 2 \cdot 0 = 3$ м. Точка (0; 3).

Если $t = 2$ с, то $x_1 = 3 + 2 \cdot 2 = 7$ м. Точка (2; 7).

Через эти две точки проводим прямую линию.

Для тела 2 ($x_2 = 6 + t$):

Если $t = 0$ с, то $x_2 = 6 + 0 = 6$ м. Точка (0; 6).

Если $t = 2$ с, то $x_2 = 6 + 2 = 8$ м. Точка (2; 8).

Через эти две точки проводим вторую прямую линию.

Определение места и времени встречи

Графический способ:

Начертив оба графика в одной системе координат (ось абсцисс - время $\text{t}$ в секундах, ось ординат - координата $\text{x}$ в метрах), находим точку их пересечения. Координаты этой точки и будут искомым временем и местом встречи. Графики пересекутся в точке с координатами ($t = 3$ с; $x = 9$ м).

Аналитический способ:

В момент встречи координаты тел должны быть одинаковы, то есть $x_1 = x_2$.

$3 + 2t = 6 + t$

$2t - t = 6 - 3$

$t = 3$ с.

Найдем координату встречи, подставив время $t = 3$ с в одно из уравнений:

$x = 3 + 2 \cdot 3 = 3 + 6 = 9$ м.

Проверка по второму уравнению: $x = 6 + 3 = 9$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: Тела встретятся в момент времени $t = 3$ с в точке с координатой $x = 9$ м. Графики движения — две прямые, пересекающиеся в точке (3; 9).