Номер 7, страница 93 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-1. Прямолинейное равноускоренное движение. Вариант 4 - номер 7, страница 93.

Условие.

7. Во сколько раз скорость лыжника в конце горы больше, чем на её середине?

Решение.

Дано:

Для решения задачи примем следующие допущения, стандартные для таких задач:

1. Лыжник начинает движение с вершины горы из состояния покоя, то есть его начальная скорость $v_0 = 0$.

2. Трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем.

3. Гора имеет общую высоту $\text{H}$.

Введем обозначения:

$\text{m}$ — масса лыжника.

$\text{H}$ — полная высота горы.

$v_1$ — скорость лыжника на середине горы (на высоте $h_1 = H/2$).

$v_2$ — скорость лыжника в конце горы (на высоте $h_2 = 0$).

$\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку трение и сопротивление воздуха отсутствуют, полная механическая энергия лыжника (сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной в любой точке траектории.

Полная механическая энергия $\text{E}$ определяется формулой:

$E = E_к + E_п = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

где $\text{v}$ — скорость тела, $\text{h}$ — его высота над нулевым уровнем (подножием горы).

1. В начальный момент времени (на вершине горы):

Высота $h_0 = H$, скорость $v_0 = 0$.

Полная энергия: $E_0 = \frac{1}{2}m(0)^2 + mgH = mgH$.

2. В середине горы:

Высота $h_1 = H/2$, скорость равна $v_1$.

Полная энергия: $E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg\frac{H}{2}$.

3. В конце горы (у подножия):

Высота $h_2 = 0$, скорость равна $v_2$.

Полная энергия: $E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv_2^2$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E_1 = E_2$.

Найдем скорость на середине горы ($v_1$), приравняв энергию в начальной точке и в середине:

$E_0 = E_1$

$mgH = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg\frac{H}{2}$

Сократим массу $\text{m}$:

$gH = \frac{1}{2}v_1^2 + g\frac{H}{2}$

$\frac{1}{2}v_1^2 = gH - g\frac{H}{2} = g\frac{H}{2}$

$v_1^2 = gH$

$v_1 = \sqrt{gH}$

Теперь найдем скорость в конце горы ($v_2$), приравняв энергию в начальной точке и в конечной:

$E_0 = E_2$

$mgH = \frac{1}{2}mv_2^2$

Сократим массу $\text{m}$:

$gH = \frac{1}{2}v_2^2$

$v_2^2 = 2gH$

$v_2 = \sqrt{2gH}$

Осталось найти, во сколько раз скорость $v_2$ больше скорости $v_1$, то есть найти их отношение:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{2gH}}{\sqrt{gH}} = \sqrt{\frac{2gH}{gH}} = \sqrt{2}$

Ответ: Скорость лыжника в конце горы больше, чем на её середине, в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).