Номер 9, страница 92 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-1. Прямолинейное равноускоренное движение. Вариант 3 - номер 9, страница 92.

Условие.

9. Два мотоциклиста движутся навстречу друг другу — один с начальной скоростью 54 $\text{км/ч}$ и ускорением 0,5 $\text{м/с}^2$, а второй с начальной скоростью 36 $\text{км/ч}$ и ускорением 0,3 $\text{м/с}^2$. Через какое время встретятся мотоциклисты и какое расстояние до встречи пройдёт каждый из них, если вначале расстояние между ними было 250 $\text{м}$?

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого мотоциклиста, $v_{01} = 54$ км/ч

Ускорение первого мотоциклиста, $a_1 = 0,5$ м/с²

Начальная скорость второго мотоциклиста, $v_{02} = 36$ км/ч

Ускорение второго мотоциклиста, $a_2 = 0,3$ м/с²

Начальное расстояние между мотоциклистами, $S = 250$ м

Перевод в систему СИ:

$v_{01} = 54 \frac{км}{ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15$ м/с

$v_{02} = 36 \frac{км}{ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10$ м/с

Найти:

Время до встречи, $\text{t}$ - ?

Расстояние, пройденное первым мотоциклистом, $S_1$ - ?

Расстояние, пройденное вторым мотоциклистом, $S_2$ - ?

Решение:

Движение мотоциклистов является равноускоренным. Поскольку они движутся навстречу друг другу, суммарное расстояние, которое они пройдут до момента встречи, равно начальному расстоянию между ними $\text{S}$.

$S = S_1 + S_2$

Расстояние, пройденное каждым мотоциклистом, определяется по формуле равноускоренного движения:

$S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Таким образом:

$S_1 = v_{01}t + \frac{a_1 t^2}{2}$

$S_2 = v_{02}t + \frac{a_2 t^2}{2}$

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$S = (v_{01}t + \frac{a_1 t^2}{2}) + (v_{02}t + \frac{a_2 t^2}{2})$

Сгруппируем слагаемые, чтобы получить уравнение относительно времени $\text{t}$:

$S = (v_{01} + v_{02})t + \frac{(a_1 + a_2)t^2}{2}$

Через какое время встретятся мотоциклисты

Подставим известные значения в полученное уравнение:

$250 = (15 + 10)t + \frac{(0,5 + 0,3)t^2}{2}$

$250 = 25t + \frac{0,8t^2}{2}$

$250 = 25t + 0,4t^2$

Мы получили квадратное уравнение $0,4t^2 + 25t - 250 = 0$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 25^2 - 4 \cdot 0,4 \cdot (-250) = 625 + 1,6 \cdot 250 = 625 + 400 = 1025$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t = \frac{-25 \pm \sqrt{1025}}{2 \cdot 0,4} = \frac{-25 \pm 32,016}{0,8}$

Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$t = \frac{-25 + 32,016}{0,8} = \frac{7,016}{0,8} \approx 8,77$ с.

Ответ: Мотоциклисты встретятся через $\approx 8,77$ с.

Какое расстояние до встречи пройдёт каждый из них

Зная время движения до встречи $t \approx 8,77$ с, мы можем рассчитать расстояние, пройденное каждым мотоциклистом.

Расстояние, пройденное первым мотоциклистом:

$S_1 = v_{01}t + \frac{a_1 t^2}{2} = 15 \cdot 8,77 + \frac{0,5 \cdot (8,77)^2}{2}$

$S_1 = 131,55 + \frac{0,5 \cdot 76,9129}{2} \approx 131,55 + 19,23 \approx 150,78$ м.

Расстояние, пройденное вторым мотоциклистом:

$S_2 = v_{02}t + \frac{a_2 t^2}{2} = 10 \cdot 8,77 + \frac{0,3 \cdot (8,77)^2}{2}$

$S_2 = 87,7 + \frac{0,3 \cdot 76,9129}{2} \approx 87,7 + 11,54 \approx 99,24$ м.

Ответ: До встречи первый мотоциклист пройдет $\approx 150,8$ м, а второй – $\approx 99,2$ м.