Номер 4, страница 98 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 1 - номер 4, страница 98.

Условие.

4. Масса Луны примерно в 100 раз меньше массы Земли, а её диаметр в 4 раза меньше диаметра Земли. Сравните силы тяжести, действующие на тела одинаковой массы на Земле и на Луне.

Решение.

Дано:

$M_З$ - масса Земли

$M_Л$ - масса Луны

$D_З$ - диаметр Земли

$D_Л$ - диаметр Луны

$R_З$ - радиус Земли

$R_Л$ - радиус Луны

$\text{m}$ - масса тела

$M_З = 100 \cdot M_Л$

$D_З = 4 \cdot D_Л$

Найти:

Сравнить силы тяжести $F_З$ и $F_Л$, то есть найти их отношение $\frac{F_З}{F_Л}$.

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело на поверхности небесного тела (планеты или спутника), определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M m}{R^2}$

где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса небесного тела, $\text{m}$ - масса тела, на которое действует сила, а $\text{R}$ - радиус небесного тела.

Запишем выражения для силы тяжести, действующей на тело массой $\text{m}$ на поверхности Земли ($F_З$) и на поверхности Луны ($F_Л$):

$F_З = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л m}{R_Л^2}$

Чтобы сравнить эти силы, найдем их отношение:

$\frac{F_З}{F_Л} = \frac{G \frac{M_З m}{R_З^2}}{G \frac{M_Л m}{R_Л^2}}$

Сократим общие множители $\text{G}$ и $\text{m}$:

$\frac{F_З}{F_Л} = \frac{M_З}{R_З^2} \cdot \frac{R_Л^2}{M_Л} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \left(\frac{R_Л}{R_З}\right)^2$

Из условия задачи нам даны отношения масс и диаметров.
Отношение масс: $\frac{M_З}{M_Л} = 100$.
Отношение радиусов равно отношению диаметров, так как $R = D/2$:$\frac{R_Л}{R_З} = \frac{D_Л}{D_З} = \frac{1}{4}$.

Теперь подставим эти значения в формулу для отношения сил:

$\frac{F_З}{F_Л} = 100 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 100 \cdot \frac{1^2}{4^2} = 100 \cdot \frac{1}{16} = \frac{100}{16}$

Сократим дробь:

$\frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6,25$

Таким образом, сила тяжести на Земле в 6,25 раз больше, чем на Луне.

Ответ: Сила тяжести, действующая на тело на поверхности Земли, примерно в 6,25 раз больше, чем на поверхности Луны.