Номер 8, страница 98 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 1 - номер 8, страница 98.

Условие.

8. Два тела, находящиеся соответственно на высоте 20 и 10 м над поверхностью земли, начинают одновременно падать и достигают земли одновременно. Определите, какова должна быть начальная скорость тела, падающего с большей высоты, если начальная скорость другого тела равна нулю.

Решение.

Дано:

Высота первого тела: $h_1 = 20$ м
Высота второго тела: $h_2 = 10$ м
Начальная скорость второго тела: $v_{02} = 0$ м/с
Время падения тел одинаково: $t_1 = t_2 = t$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Начальную скорость первого тела: $v_{01}$

Решение:

Рассмотрим движение двух тел в поле тяжести Земли. Это движение является равноускоренным. Запишем уравнение движения для высоты $\text{h}$ в зависимости от времени $\text{t}$ для тела, движущегося с начальной скоростью $v_0$ и ускорением $\text{g}$. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз, тогда уравнение движения примет вид:$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Для второго тела, которое падает с высоты $h_2$ без начальной скорости ($v_{02} = 0$), уравнение будет выглядеть так:$h_2 = \frac{gt^2}{2}$

Поскольку оба тела достигают земли одновременно, время их падения $\text{t}$ одинаково. Из уравнения для второго тела мы можем выразить это время:$t^2 = \frac{2h_2}{g} \implies t = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$

Теперь запишем уравнение движения для первого тела, которое падает с высоты $h_1$ с некоторой начальной скоростью $v_{01}$:$h_1 = v_{01}t + \frac{gt^2}{2}$

Мы уже знаем, что $\frac{gt^2}{2} = h_2$. Подставим это в уравнение для первого тела:$h_1 = v_{01}t + h_2$

Отсюда выразим искомую начальную скорость $v_{01}$:$v_{01}t = h_1 - h_2$$v_{01} = \frac{h_1 - h_2}{t}$

Подставим в это выражение найденное ранее время $\text{t}$:$v_{01} = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}} = (h_1 - h_2) \sqrt{\frac{g}{2h_2}}$

Теперь произведем вычисления, подставив числовые значения из условия задачи:$v_{01} = (20 \text{ м} - 10 \text{ м}) \cdot \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 10 \text{ м}}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{9.8}{20}} \text{ м/с} = 10 \cdot \sqrt{0.49} \text{ м/с} = 10 \cdot 0.7 \text{ м/с} = 7 \text{ м/с}$

Ответ: 7 м/с.