Номер 5, страница 98 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 1 - номер 5, страница 98.

Условие.

5. Мальчик массой 45 кг качается на качелях, длина подвеса которых равна 3 м. При прохождении среднего положения он давит на сиденье с силой, равной 900 Н. С какой скоростью качели проходят это положение?

Решение.

Дано:

Масса мальчика, $m = 45$ кг

Длина подвеса качелей (радиус), $L = 3$ м

Сила давления на сиденье (вес), $P = 900$ Н

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Скорость качелей, $\text{v}$ - ?

Решение:

При прохождении качелями среднего (нижнего) положения, мальчик движется по дуге окружности. В этой точке на него действуют две силы: сила тяжести $F_{т} = mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры со стороны сиденья $\text{N}$, направленная вертикально вверх. По третьему закону Ньютона, сила реакции опоры $\text{N}$ равна по модулю силе $\text{P}$, с которой мальчик давит на сиденье: $N = P = 900$ Н.

Равнодействующая этих сил сообщает мальчику центростремительное ускорение $a_c$, которое направлено к центру окружности (вверх). Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - mg = ma_c$

Центростремительное ускорение связано со скоростью и радиусом окружности (длиной подвеса $\text{L}$) соотношением:

$a_c = \frac{v^2}{L}$

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$N - mg = m \frac{v^2}{L}$

Выразим из этой формулы искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{L(N - mg)}{m}$

$v = \sqrt{\frac{L(N - mg)}{m}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу, приняв $g \approx 10$ м/с²:

$v = \sqrt{\frac{3 \text{ м} \cdot (900 \text{ Н} - 45 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2)}{45 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{3 \cdot (900 - 450)}{45}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 450}{45}} = \sqrt{3 \cdot 10} = \sqrt{30} \approx 5,48$ м/с.

Ответ: скорость качелей при прохождении среднего положения равна примерно $5,48$ м/с.