Номер 2, страница 99 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 2 - номер 2, страница 99.

Условие.

2. С какой скоростью должен двигаться мотоцикл по выпуклому участку дороги, имеющему радиус кривизны 90 м, чтобы в верхней точке этого участка давление на дорогу было равно нулю?

Решение.

Дано:

Радиус кривизны дороги: $R = 90$ м

Давление на дорогу в верхней точке: $P = 0$ Н

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Скорость мотоцикла: $\text{v}$ - ?

Решение:

Когда мотоцикл движется по выпуклому участку дороги (мосту), в верхней точке траектории на него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает мотоциклу центростремительное ускорение $\vec{a_c}$, которое в верхней точке также направлено вертикально вниз, к центру кривизны траектории.

Запишем второй закон Ньютона для мотоцикла в проекции на вертикальную ось, выбрав положительное направление вниз:

$m a_c = m g - N$

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_c = \frac{v^2}{R}$, где $\text{v}$ - скорость мотоцикла, а $\text{R}$ - радиус кривизны дороги.

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$m \frac{v^2}{R} = m g - N$

По условию задачи, давление мотоцикла на дорогу равно нулю. Согласно третьему закону Ньютона, сила давления $\text{P}$, с которой мотоцикл действует на дорогу, равна по модулю силе нормальной реакции опоры $\text{N}$. Таким образом, если $P=0$, то и сила реакции опоры $N=0$. Это состояние также называют невесомостью.

При $N=0$ уравнение принимает вид:

$m \frac{v^2}{R} = m g$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения, так как она не равна нулю:

$\frac{v^2}{R} = g$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = g R$

$v = \sqrt{g R}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчет:

$v = \sqrt{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 90 \text{ м}} = \sqrt{900 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 30 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: чтобы в верхней точке выпуклого участка дороги давление на дорогу было равно нулю, мотоцикл должен двигаться со скоростью 30 м/с.