Номер 8, страница 99 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 2 - номер 8, страница 99.

Условие.

8. На какую максимальную высоту поднялось бы тело, брошенное вертикально вверх на Марсе, если на Земле при той же скорости бросания оно поднялось на высоту 1 м? Радиус Марса равен 0,53 радиуса Земли. Масса Марса составляет 0,11 массы Земли.

Решение.

Дано:

$h_З = 1$ м
$R_М = 0,53 R_З$
$M_М = 0,11 M_З$
$v_{0З} = v_{0М} = v_0$

Найти:

$h_М$ - ?

Решение:

При бросании тела вертикально вверх его начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную. В верхней точке траектории, на максимальной высоте $\text{h}$, скорость тела становится равной нулю. По закону сохранения энергии:

$\frac{m v_0^2}{2} = mgh$

где $\text{m}$ - масса тела, $v_0$ - начальная скорость, $\text{g}$ - ускорение свободного падения, $\text{h}$ - максимальная высота подъема.

Отсюда можно выразить максимальную высоту подъема:

$h = \frac{v_0^2}{2g}$

Запишем это уравнение для Земли и Марса:

$h_З = \frac{v_0^2}{2g_З}$ (1)

$h_М = \frac{v_0^2}{2g_М}$ (2)

Поскольку начальная скорость $v_0$ в обоих случаях одинакова, мы можем выразить $v_0^2$ из первого уравнения и подставить во второе:

$v_0^2 = 2g_З h_З$

$h_М = \frac{2g_З h_З}{2g_М} = h_З \frac{g_З}{g_М}$

Теперь найдем соотношение ускорений свободного падения на Земле ($g_З$) и на Марсе ($g_М$). Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется по формуле:

$g = G\frac{M}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

Для Земли: $g_З = G\frac{M_З}{R_З^2}$

Для Марса, используя данные из условия задачи:

$g_М = G\frac{M_М}{R_М^2} = G\frac{0,11 M_З}{(0,53 R_З)^2} = G\frac{0,11 M_З}{0,53^2 R_З^2} = \frac{0,11}{0,53^2} \left( G\frac{M_З}{R_З^2} \right) = \frac{0,11}{0,53^2} g_З$

Найдем отношение $\frac{g_З}{g_М}$:

$\frac{g_З}{g_М} = \frac{g_З}{\frac{0,11}{0,53^2} g_З} = \frac{1}{\frac{0,11}{0,53^2}} = \frac{0,53^2}{0,11} = \frac{0,2809}{0,11} \approx 2,5536$

Теперь можем рассчитать максимальную высоту подъема на Марсе:

$h_М = h_З \cdot \frac{g_З}{g_М} = 1 \, \text{м} \cdot 2,5536 \approx 2,55 \, \text{м}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных (0,53 и 0,11), получаем 2,6 м.

Ответ: тело на Марсе поднялось бы на максимальную высоту примерно 2,6 м.