Номер 5, страница 100 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 3 - номер 5, страница 100.

Условие.

5. Ведёрко с водой вращают в вертикальной плоскости на верёвке длиной 40 см. С какой наименьшей скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении через верхнюю точку вода из ведёрка не выливалась?

Решение.

Дано:

Длина верёвки (радиус вращения), $r = 40$ см
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$r = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Наименьшая скорость, $v_{min}$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение воды в ведёрке в верхней точке траектории. На воду действуют две силы, направленные вертикально вниз, к центру окружности: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции опоры (дна ведёрка) $\vec{N}$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает воде центростремительное ускорение $a_ц$, которое также направлено к центру окружности:

$m\vec{a_ц} = m\vec{g} + \vec{N}$

В проекции на вертикальную ось, направленную к центру окружности (вниз), уравнение примет вид:

$ma_ц = mg + N$

Центростремительное ускорение выражается через линейную скорость $\text{v}$ и радиус $\text{r}$ как $a_ц = \frac{v^2}{r}$. Подставим это в уравнение:

$\frac{mv^2}{r} = mg + N$

Вода не будет выливаться из ведёрка, пока она прижата к его дну, то есть пока сила реакции опоры $\text{N}$ не станет равной нулю (или будет больше нуля). Математически это условие записывается как $N \ge 0$.

Наименьшая скорость вращения $v_{min}$ соответствует предельному случаю, когда вода вот-вот начнёт отрываться от дна, то есть когда сила реакции опоры становится равной нулю: $N = 0$.

Подставим $N=0$ в наше уравнение:

$\frac{mv_{min}^2}{r} = mg$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_{min}^2}{r} = g$

Отсюда выразим минимальную скорость:

$v_{min}^2 = gr$

$v_{min} = \sqrt{gr}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$v_{min} = \sqrt{10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м}} = \sqrt{4 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: наименьшая скорость, с которой нужно вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, составляет 2 м/с.