Номер 9, страница 100 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 3 - номер 9, страница 100.

Условие.

9. С вертолёта, находящегося на высоте 300 м, сброшен груз. Через какое время груз достигнет земли, если вертолёт поднимается со скоростью 5 м/с?

Решение.

Дано:

$h = 300$ м

$v_0 = 5$ м/с

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{t}$ — ?

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Ось OY направим вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на поверхности земли. В момент сброса груз находится на высоте $y_0 = h = 300$ м. Поскольку вертолет поднимается, по закону инерции груз в начальный момент времени имеет скорость $v_0 = 5$ м/с, направленную вертикально вверх.

Движение груза после сброса является равноускоренным с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз. Закон движения тела в этом случае описывается уравнением:

$y(t) = y_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$

В нашей системе отсчета начальная координата $y_0 = h$, начальная скорость $v_0$ направлена вверх (положительное направление), а ускорение $a = -g$, так как оно направлено вниз (против оси OY). Тогда уравнение движения примет вид:

$y(t) = h + v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Груз достигнет земли, когда его координата станет равной нулю, то есть $y(t) = 0$. Подставим известные значения в уравнение, приняв $g \approx 10$ м/с²:

$0 = 300 + 5t - \frac{10t^2}{2}$

$0 = 300 + 5t - 5t^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$5t^2 - 5t - 300 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - t - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{241}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{241}}{2}$

Так как время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только положительный корень:

$t = \frac{1 + \sqrt{241}}{2}$

Вычислим приближенное значение времени, зная, что $\sqrt{241} \approx 15.52$:

$t \approx \frac{1 + 15.52}{2} = \frac{16.52}{2} = 8.26$ c

Округлим результат до десятых.

Ответ: время падения груза составит примерно $8.3$ с.