Номер 8, страница 100 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 3 - номер 8, страница 100.

Условие.

8. Свободно падающее тело в последнюю секунду падения прошло 65 м. Сколько времени падало тело и какой путь оно прошло?

Решение.

Дано:

Путь, пройденный за последнюю секунду, $\Delta h_{last} = 65$ м
Промежуток времени, $\Delta t = 1$ с
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Найти:

Полное время падения, $t_{total}$ - ?
Полный путь, пройденный телом, $h_{total}$ - ?

Решение:

Путь, пройденный телом при свободном падении из состояния покоя, определяется формулой:$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

Пусть $t_{total}$ — полное время падения тела. Тогда весь путь, пройденный телом, равен:$h_{total} = h(t_{total}) = \frac{gt_{total}^2}{2}$

Путь, пройденный телом за время $(t_{total} - 1)$ с (то есть до начала последней секунды), равен:$h(t_{total} - 1) = \frac{g(t_{total} - 1)^2}{2}$

Путь, пройденный телом за последнюю секунду падения, является разностью между полным путем $h_{total}$ и путем, пройденным за время $(t_{total} - 1)$ с:$\Delta h_{last} = h_{total} - h(t_{total} - 1)$

Подставим выражения для путей в это уравнение:$\Delta h_{last} = \frac{gt_{total}^2}{2} - \frac{g(t_{total} - 1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки:$\Delta h_{last} = \frac{g}{2} (t_{total}^2 - (t_{total} - 1)^2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, применив формулу квадрата разности:$t_{total}^2 - (t_{total}^2 - 2t_{total} + 1) = t_{total}^2 - t_{total}^2 + 2t_{total} - 1 = 2t_{total} - 1$

Теперь уравнение примет вид:$\Delta h_{last} = \frac{g}{2} (2t_{total} - 1)$

Выразим из этого уравнения полное время падения $t_{total}$ и подставим известные значения $\Delta h_{last} = 65$ м и $g \approx 10$ м/с$^2$:$65 = \frac{10}{2} (2t_{total} - 1)$
$65 = 5 (2t_{total} - 1)$
$13 = 2t_{total} - 1$
$14 = 2t_{total}$
$t_{total} = 7$ с

Теперь, зная полное время падения, мы можем найти полный путь, пройденный телом:$h_{total} = \frac{gt_{total}^2}{2} = \frac{10 \cdot 7^2}{2} = \frac{10 \cdot 49}{2} = 5 \cdot 49 = 245$ м

Ответ: тело падало 7 секунд и прошло путь 245 метров.