Номер 4, страница 100 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 3 - номер 4, страница 100.

Условие.

4. В космическом корабле приборы отметили уменьшение ускорения свободного падения в 2 раза. На какую высоту от поверхности Земли поднялся космический корабль?

Решение.

Дано:

$ \frac{g_0}{g_h} = 2 $

$ R_З \approx 6400 \, \text{км} $

$ G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} $

$ R_З = 6400 \cdot 10^3 \, \text{м} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м} $

Найти:

$ h $ — ?

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на некотором расстоянии $\text{r}$ от центра планеты массой $\text{M}$ определяется по формуле, следующей из закона всемирного тяготения:

$ g = G \frac{M}{r^2} $

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

На поверхности Земли расстояние до ее центра равно радиусу Земли $R_З$. Ускорение свободного падения на поверхности ($g_0$) равно:

$ g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2} $

На высоте $\text{h}$ от поверхности Земли расстояние до центра планеты составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) равно:

$ g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2} $

Из условия задачи известно, что ускорение свободного падения уменьшилось в 2 раза:

$ g_h = \frac{g_0}{2} $

Подставим формулы для $g_0$ и $g_h$ в это соотношение:

$ G \frac{M_З}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{2} G \frac{M_З}{R_З^2} $

Сократим общие множители $\text{G}$ и $M_З$ в обеих частях уравнения:

$ \frac{1}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{2R_З^2} $

Возьмем обратные величины от обеих частей уравнения (или, что то же самое, "перевернем" дроби):

$ (R_З + h)^2 = 2R_З^2 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как расстояние не может быть отрицательным, рассматриваем только арифметический корень:

$ R_З + h = \sqrt{2} R_З $

Теперь выразим высоту $\text{h}$:

$ h = \sqrt{2} R_З - R_З = R_З(\sqrt{2} - 1) $

Подставим числовые значения. Будем использовать средний радиус Земли $R_З \approx 6400$ км и значение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$ h \approx 6400 \, \text{км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \, \text{км} \cdot 0.414 \approx 2649.6 \, \text{км} $

Округляя, получаем высоту около 2650 км.

Ответ: космический корабль поднялся на высоту примерно 2650 км от поверхности Земли.