Номер 7, страница 100 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 3 - номер 7, страница 100.

Условие.

7. Самолёт, летящий со скоростью 150 м/с, делает «мёртвую петлю». Каким должен быть радиус этой петли, чтобы максимальная сила, прижимающая лётчика к сиденью в нижней точке траектории, не превышала десятикратно вес лётчика?

Решение.

Дано:

Скорость самолёта, $v = 150$ м/с

Максимальная сила, прижимающая лётчика к сиденью, $N \le 10P$

Вес лётчика, $P = mg$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Радиус петли, $\text{R}$

Решение:

В нижней точке траектории «мёртвой петли» на лётчика действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры (сиденья) $\text{N}$, направленная вертикально вверх. Сила $\text{N}$ и есть та сила, которая прижимает лётчика к сиденью. Эта сила также называется весом лётчика в данной точке.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает лётчику центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру петли (то есть вертикально вверх):

$N - mg = ma_ц$

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$N - mg = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда выразим силу реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg + \frac{mv^2}{R}$

По условию задачи, эта сила не должна превышать десятикратный вес лётчика в состоянии покоя ($P=mg$):

$N \le 10mg$

Подставим выражение для $\text{N}$ в это неравенство:

$mg + \frac{mv^2}{R} \le 10mg$

Перенесем $\text{mg}$ в правую часть и сократим на массу $\text{m}$:

$\frac{mv^2}{R} \le 9mg$

$\frac{v^2}{R} \le 9g$

Из этого неравенства выразим радиус $\text{R}$. Так как $\text{R}$ — положительная величина, мы можем преобразовать неравенство следующим образом:

$v^2 \le 9gR$

$R \ge \frac{v^2}{9g}$

Это означает, что радиус петли должен быть не меньше, чем вычисленное значение. Найдем это минимальное значение радиуса:

$R_{min} = \frac{v^2}{9g}$

Подставим числовые значения из условия задачи, приняв $g \approx 10$ м/с²:

$R_{min} = \frac{(150 \text{ м/с})^2}{9 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{22500 \text{ м²/с²}}{90 \text{ м/с}^2} = 250 \text{ м}$

Следовательно, чтобы максимальная сила, прижимающая лётчика к сиденью, не превышала десятикратный вес, радиус петли должен быть не менее 250 метров.

Ответ: радиус петли должен быть не менее 250 м.