Номер 4, страница 99 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 2 - номер 4, страница 99.

Условие.

4. Чему равно ускорение свободного падения на высоте, равной четырём радиусам Земли?

Решение.

Дано:

$h = 4R_З$ (высота над поверхностью)

$R_З$ - радиус Земли

$g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ (ускорение свободного падения на поверхности Земли)

Найти:

$g_h$ - ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$

Решение:

Ускорение свободного падения создается гравитационным полем Земли и описывается законом всемирного тяготения. На поверхности Земли, то есть на расстоянии $R_З$ от её центра, ускорение свободного падения равно:

$g_0 = G\frac{M}{R_З^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли.

На высоте $\text{h}$ от поверхности Земли расстояние до её центра составит $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте, $g_h$, будет равно:

$g_h = G\frac{M}{(R_З + h)^2}$

Чтобы найти, как изменится ускорение, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G\frac{M}{(R_З + h)^2}}{G\frac{M}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Выразим $g_h$ из этого соотношения:

$g_h = g_0 \left( \frac{R_З}{R_З + h} \right)^2$

Согласно условию задачи, высота $\text{h}$ равна четырём радиусам Земли: $h = 4R_З$. Подставим это значение в формулу:

$g_h = g_0 \left( \frac{R_З}{R_З + 4R_З} \right)^2 = g_0 \left( \frac{R_З}{5R_З} \right)^2 = g_0 \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{g_0}{25}$

Это означает, что ускорение свободного падения на данной высоте в 25 раз меньше, чем на поверхности Земли.

Теперь вычислим числовое значение, приняв $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$:

$g_h = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{25} = 0.392 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на высоте, равной четырём радиусам Земли, равно $0.392 \, \text{м/с}^2$.