Номер 7, страница 103 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-4. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии. Вариант 2 - номер 7, страница 103.

Условие.

7. Снаряд массой 50 кг, летящий вдоль рельсов со скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т и застревает в песке. Скорость снаряда в момент падения образует угол $45^\circ$ с горизонтом. Чему равна скорость платформы после попадания снаряда, если платформа движется навстречу снаряду со скоростью 10 м/с?

Решение.

Дано:

Масса снаряда $m_1 = 50$ кг

Скорость снаряда $v_1 = 600$ м/с

Масса платформы $m_2 = 10$ т = $10 \cdot 10^3$ кг = $10000$ кг

Начальная скорость платформы $v_2 = 10$ м/с

Угол падения снаряда к горизонту $\alpha = 45^{\circ}$

Найти:

Скорость платформы со снарядом после столкновения $\text{u}$

Решение:

Столкновение снаряда с платформой, в которой он застревает, является абсолютно неупругим ударом. В данном случае применим закон сохранения импульса для системы тел "снаряд-платформа". Поскольку платформа движется по рельсам, ее движение возможно только в горизонтальном направлении. Поэтому мы будем применять закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось OX.

Направим ось OX по направлению горизонтальной составляющей скорости снаряда. В этом случае проекция начальной скорости платформы, движущейся навстречу, будет отрицательной.

Суммарный импульс системы до столкновения в проекции на ось OX равен сумме проекций импульсов снаряда и платформы:

$P_{x\text{ до}} = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}$

Горизонтальная составляющая скорости снаряда равна $v_{1x} = v_1 \cos(\alpha)$.

Проекция скорости платформы на ось OX равна $v_{2x} = -v_2$.

Таким образом, начальный импульс системы в проекции на ось OX:

$P_{x\text{ до}} = m_1 v_1 \cos(\alpha) - m_2 v_2$

После столкновения снаряд и платформа движутся как единое целое с общей скоростью $\text{u}$. Их общая масса составляет $M = m_1 + m_2$.

Импульс системы после столкновения в проекции на ось OX:

$P_{x\text{ после}} = (m_1 + m_2) u$

Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия ($P_{x\text{ до}} = P_{x\text{ после}}$):

$m_1 v_1 \cos(\alpha) - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $\text{u}$:

$u = \frac{m_1 v_1 \cos(\alpha) - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения. Значение $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

$u = \frac{50 \text{ кг} \cdot 600 \text{ м/с} \cdot \cos(45^{\circ}) - 10000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{50 \text{ кг} + 10000 \text{ кг}}$

$u \approx \frac{30000 \cdot 0.707 - 100000}{10050} = \frac{21210 - 100000}{10050} = \frac{-78790}{10050} \approx -7.84$ м/с

Знак "минус" в ответе означает, что после столкновения платформа со снарядом будет двигаться в направлении, противоположном первоначальной горизонтальной составляющей скорости снаряда, то есть в том же направлении, куда двигалась платформа до столкновения.

Ответ: скорость платформы после попадания снаряда равна примерно 7.84 м/с, направление движения совпадает с первоначальным направлением движения платформы.