Номер 9, страница 103 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-4. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии. Вариант 2 - номер 9, страница 103.

Условие.

9. С какой скоростью надо бросить мяч вниз с высоты 3 м, чтобы после удара о землю он подпрыгнул на высоту 8 м? Удар считать абсолютно упругим.

Решение.

Дано:

$h_1 = 3$ м

$h_2 = 8$ м

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$v_0$

Решение:

Решение задачи основано на законе сохранения механической энергии. Мы можем рассмотреть движение мяча в три этапа: падение, упругий удар и подъем.

1. Движение мяча после отскока.

Найдем скорость $v_2$, которую должен иметь мяч сразу после отскока, чтобы достичь высоты $h_2$. В момент отскока (на нулевой высоте) вся его механическая энергия является кинетической ($E_к = \frac{m v_2^2}{2}$). На максимальной высоте $h_2$ скорость мяча равна нулю, и вся энергия становится потенциальной ($E_п = m g h_2$). По закону сохранения энергии:

$\frac{m v_2^2}{2} = m g h_2$

Отсюда выражаем квадрат скорости сразу после отскока:

$v_2^2 = 2 g h_2$

2. Абсолютно упругий удар.

По условию, удар о землю абсолютно упругий. Это означает, что модуль скорости мяча при соударении не изменяется. Таким образом, скорость мяча непосредственно перед ударом ($v_1$) равна по модулю скорости мяча сразу после удара ($v_2$):

$v_1 = v_2$

Следовательно, квадраты скоростей также равны:

$v_1^2 = v_2^2 = 2 g h_2$

3. Движение мяча до удара.

Теперь рассмотрим падение мяча с высоты $h_1$ с начальной скоростью $v_0$. В начальный момент полная механическая энергия мяча является суммой его кинетической и потенциальной энергий: $E_{нач} = \frac{m v_0^2}{2} + m g h_1$. Прямо перед ударом о землю (на нулевой высоте) вся эта энергия переходит в кинетическую: $E_{кон} = \frac{m v_1^2}{2}$. По закону сохранения энергии:

$\frac{m v_0^2}{2} + m g h_1 = \frac{m v_1^2}{2}$

Сократив массу $\text{m}$ и умножив обе части уравнения на 2, получим:

$v_0^2 + 2 g h_1 = v_1^2$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $v_1^2$:

$v_0^2 + 2 g h_1 = 2 g h_2$

Выразим искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = 2 g h_2 - 2 g h_1 = 2g(h_2 - h_1)$

$v_0 = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot (8 \, \text{м} - 3 \, \text{м})} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 5} = \sqrt{98} \, \text{м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v_0 = \sqrt{98} \approx 9.9 \, \text{м/с}$

Ответ: мяч надо бросить вниз со скоростью $\sqrt{98}$ м/с, что приблизительно равно $9.9$ м/с.