Номер 10, страница 5 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-1. Путь и перемещение - номер 10, страница 5.

Условие.

10. Катер прошёл по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении ещё 1 км. Сделайте чертёж. Найдите модуль перемещения катера.

Решение.

Дано:

Длина первого перемещения, $|\vec{s_1}| = 2 \text{ км}$
Направление первого перемещения: северо-восток (СВ)
Длина второго перемещения, $|\vec{s_2}| = 1 \text{ км}$
Направление второго перемещения: север (С)

$|\vec{s_1}| = 2 \cdot 1000 = 2000 \text{ м}$
$|\vec{s_2}| = 1 \cdot 1000 = 1000 \text{ м}$

Найти:

Модуль полного перемещения катера, $|\vec{s}|$

Решение:

Сделайте чертёж

Для решения задачи введём прямоугольную систему координат. Направим ось OY на север, а ось OX — на восток. Начальную точку движения катера (точка О) поместим в начало координат.
Движение катера состоит из двух последовательных перемещений, которые можно представить в виде векторов:
1. Первое перемещение $\vec{s_1}$ — это вектор с началом в точке О, длиной 2 км, направленный на северо-восток. Угол этого вектора с осями OX и OY составляет $45^\circ$. Пусть конец этого вектора — точка А.
2. Второе перемещение $\vec{s_2}$ — это вектор с началом в точке А, длиной 1 км, направленный на север (параллельно оси OY). Пусть конец этого вектора — точка В.
Результирующее перемещение $\vec{s}$ — это вектор, соединяющий начальную точку О с конечной точкой В ($\vec{s} = \vec{OB}$). Векторы $\vec{s_1}$ (сторона ОА), $\vec{s_2}$ (сторона АВ) и $\vec{s}$ (сторона ОВ) образуют треугольник ОАВ.

Найдите модуль перемещения катера

Полное перемещение катера является векторной суммой двух его последовательных перемещений:
$\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$
Модуль результирующего вектора $|\vec{s}|$ можно найти как длину стороны OB в треугольнике OAB, используя теорему косинусов. Для удобства будем проводить вычисления в километрах.
Теорема косинусов для треугольника OAB:
$|\vec{s}|^2 = |\vec{s_1}|^2 + |\vec{s_2}|^2 - 2 \cdot |\vec{s_1}| \cdot |\vec{s_2}| \cdot \cos(\angle OAB)$
Найдём угол $\angle OAB$. Вектор $\vec{s_1}$ направлен на северо-восток, то есть под углом $45^\circ$ к направлению на север. Вектор $\vec{s_2}$ направлен строго на север. Угол $\angle OAB$ является внешним по отношению к углу между направлениями векторов, поэтому он равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$|\vec{s}|^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(135^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$|\vec{s}|^2 = 4 + 1 - 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5 + 2\sqrt{2}$
Теперь найдём модуль перемещения, извлекая квадратный корень из полученного значения:
$|\vec{s}| = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}} \text{ км}$
Для практической оценки вычислим приблизительное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:
$|\vec{s}| \approx \sqrt{5 + 2 \cdot 1.414} = \sqrt{5 + 2.828} = \sqrt{7.828} \approx 2.8 \text{ км}$
Ответ: модуль перемещения катера равен $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$ км, что приблизительно составляет 2.8 км.