Номер 6, страница 6 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-2. Прямолинейное равномерное движение - номер 6, страница 6.

Условие.

6. По прямолинейной автостраде движутся равномерно в противоположных направлениях автобус и мотоциклист. В начальный момент времени координаты автобуса и мотоциклиста соответственно равны 500 и -300 м, а скорости движения — 72 и 36 км/ч. Напишите уравнения движения $x = x(t)$ автобуса и мотоциклиста. Определите их положение через 5 с. В какой момент времени и где они встретятся? Каким будет расстояние между ними через 1,5 мин после начала движения? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение.

Дано:

Начальная координата автобуса, $x_{0а} = 500$ м

Начальная координата мотоциклиста, $x_{0м} = -300$ м

Скорость автобуса, $v_{а} = 72$ км/ч

Скорость мотоциклиста, $v_{м} = 36$ км/ч

Время $t_1 = 5$ с

Время $t_2 = 1.5$ мин

Перевод в систему СИ:

$v_{а} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с

$v_{м} = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10$ м/с

$t_2 = 1.5 \text{ мин} = 1.5 \cdot 60 \text{ с} = 90$ с

Найти:

1. Уравнения движения $x_а(t)$ и $x_м(t)$.

2. Координаты $x_а(t_1)$ и $x_м(t_1)$.

3. Время $t_{встр}$ и координату $x_{встр}$ встречи.

4. Расстояние $\text{S}$ между ними через время $t_2$.

Решение

Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось OX.

Поскольку в условии сказано, что автобус и мотоциклист движутся в противоположных направлениях, необходимо рассмотреть два возможных случая, так как не указано, в какую сторону направлена ось OX.

Случай 1: Автобус и мотоциклист движутся навстречу друг другу.

В этом случае автобус, находящийся в точке с большей координатой ($x_{0а} = 500$ м), движется против оси ОХ, а мотоциклист ($x_{0м} = -300$ м) — вдоль оси ОХ. Тогда их проекции скоростей будут:

$v_{аx} = -v_а = -20$ м/с

$v_{мx} = v_м = 10$ м/с

Напишите уравнения движения $x = x(t)$ автобуса и мотоциклиста.

Подставляем начальные данные в общую формулу:

Уравнение движения для автобуса: $x_а(t) = 500 - 20t$.

Уравнение движения для мотоциклиста: $x_м(t) = -300 + 10t$.

Ответ: $x_а(t) = 500 - 20t$; $x_м(t) = -300 + 10t$ (координаты в метрах, время в секундах).

Определите их положение через 5 с.

Подставим $t = t_1 = 5$ с в уравнения движения:

Положение автобуса: $x_а(5) = 500 - 20 \cdot 5 = 500 - 100 = 400$ м.

Положение мотоциклиста: $x_м(5) = -300 + 10 \cdot 5 = -300 + 50 = -250$ м.

Ответ: Через 5 с координата автобуса будет 400 м, а координата мотоциклиста — -250 м.

В какой момент времени и где они встретятся?

В момент встречи их координаты равны: $x_а(t_{встр}) = x_м(t_{встр})$.

$500 - 20t_{встр} = -300 + 10t_{встр}$

$800 = 30t_{встр}$

$t_{встр} = \frac{800}{30} = \frac{80}{3} \approx 26.7$ с.

Найдем координату встречи, подставив $t_{встр}$ в любое из уравнений:

$x_{встр} = x_м(\frac{80}{3}) = -300 + 10 \cdot \frac{80}{3} = -300 + \frac{800}{3} = \frac{-900 + 800}{3} = -\frac{100}{3} \approx -33.3$ м.

Ответ: Они встретятся через $\frac{80}{3}$ с (приблизительно 26.7 с) в точке с координатой $-\frac{100}{3}$ м (приблизительно -33.3 м).

Каким будет расстояние между ними через 1,5 мин после начала движения?

Найдем их координаты в момент времени $t_2 = 90$ с:

$x_а(90) = 500 - 20 \cdot 90 = 500 - 1800 = -1300$ м.

$x_м(90) = -300 + 10 \cdot 90 = -300 + 900 = 600$ м.

Расстояние между ними равно модулю разности их координат:

$S = |x_а(90) - x_м(90)| = |-1300 - 600| = |-1900| = 1900$ м.

Ответ: Через 1,5 мин расстояние между ними будет 1900 м.

Случай 2: Автобус и мотоциклист движутся в противоположных направлениях друг от друга (удаляются).

В этом случае автобус, находящийся в точке с большей координатой ($x_{0а} = 500$ м), движется вдоль оси ОХ, а мотоциклист ($x_{0м} = -300$ м) — против оси ОХ. Тогда их проекции скоростей будут:

$v_{аx} = v_а = 20$ м/с

$v_{мx} = -v_м = -10$ м/с

Напишите уравнения движения x = x(t) автобуса и мотоциклиста.

Подставляем начальные данные в общую формулу:

Уравнение движения для автобуса: $x_а(t) = 500 + 20t$.

Уравнение движения для мотоциклиста: $x_м(t) = -300 - 10t$.

Ответ: $x_а(t) = 500 + 20t$; $x_м(t) = -300 - 10t$ (координаты в метрах, время в секундах).

Определите их положение через 5 с.

Подставим $t = t_1 = 5$ с в уравнения движения:

Положение автобуса: $x_а(5) = 500 + 20 \cdot 5 = 500 + 100 = 600$ м.

Положение мотоциклиста: $x_м(5) = -300 - 10 \cdot 5 = -300 - 50 = -350$ м.

Ответ: Через 5 с координата автобуса будет 600 м, а координата мотоциклиста — -350 м.

В какой момент времени и где они встретятся?

Приравняем их координаты, чтобы найти время встречи: $x_а(t_{встр}) = x_м(t_{встр})$.

$500 + 20t_{встр} = -300 - 10t_{встр}$

$30t_{встр} = -800$

$t_{встр} = -\frac{800}{30} = -\frac{80}{3} \approx -26.7$ с.

Время получилось отрицательным. Это означает, что при таком направлении движения они могли встретиться только в прошлом, до начала отсчета времени. В будущем (при $t > 0$) они не встретятся, так как удаляются друг от друга.

Ответ: В данном случае они не встретятся после начала движения.

Каким будет расстояние между ними через 1,5 мин после начала движения?

Найдем их координаты в момент времени $t_2 = 90$ с:

$x_а(90) = 500 + 20 \cdot 90 = 500 + 1800 = 2300$ м.

$x_м(90) = -300 - 10 \cdot 90 = -300 - 900 = -1200$ м.

Расстояние между ними равно модулю разности их координат:

$S = |x_а(90) - x_м(90)| = |2300 - (-1200)| = |2300 + 1200| = 3500$ м.

Ответ: Через 1,5 мин расстояние между ними будет 3500 м.