Номер 2, страница 5 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-2. Прямолинейное равномерное движение - номер 2, страница 5.

Условие.

2. Грузовой автомобиль проехал мимо бензоколонки со скоростью 54 км/ч. Через 2 ч мимо той же бензоколонки в том же направлении проехал легковой автомобиль со скоростью 72 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от бензоколонки легковой автомобиль догонит грузовой, если они ехали прямолинейно с постоянной скоростью?

Решение.

Дано:

Скорость грузового автомобиля, $v_1 = 54$ км/ч

Скорость легкового автомобиля, $v_2 = 72$ км/ч

Время задержки легкового автомобиля, $\Delta t = 2$ ч

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15$ м/с

$v_2 = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с

$\Delta t = 2 \cdot 3600 \text{ с} = 7200$ с

Найти:

Время, через которое легковой автомобиль догонит грузовой, $t - ?$

Расстояние от бензоколонки, на котором это произойдет, $S - ?$

Решение:

Для решения этой задачи удобнее использовать единицы измерения, данные в условии (км/ч и часы), так как это упрощает вычисления.

Выберем бензоколонку в качестве точки отсчета ($x_0 = 0$) и направим ось координат в сторону движения автомобилей. Решим задачу двумя способами.

Способ 1. Составление уравнений движения.

Пусть $t_{встр}$ — это общее время, прошедшее с момента, когда грузовик проехал бензоколонку, до момента встречи. Тогда уравнение движения грузового автомобиля имеет вид:

$S = v_1 \cdot t_{встр}$

Легковой автомобиль выехал на $\Delta t = 2$ часа позже, поэтому его время в пути до встречи будет $(t_{встр} - \Delta t)$. Уравнение движения легкового автомобиля:

$S = v_2 \cdot (t_{встр} - \Delta t)$

Поскольку в момент встречи они проедут одинаковое расстояние $\text{S}$ от бензоколонки, мы можем приравнять правые части уравнений:

$v_1 \cdot t_{встр} = v_2 \cdot (t_{встр} - \Delta t)$

Подставим числовые значения и решим уравнение относительно $t_{встр}$:

$54 \cdot t_{встр} = 72 \cdot (t_{встр} - 2)$

$54 t_{встр} = 72 t_{встр} - 144$

$144 = 72 t_{встр} - 54 t_{встр}$

$144 = 18 t_{встр}$

$t_{встр} = \frac{144}{18} = 8$ ч.

Это общее время движения грузовика. Время, которое был в пути легковой автомобиль, равно:

$t = t_{встр} - \Delta t = 8 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 6$ ч.

Теперь найдем расстояние от бензоколонки, на котором произойдет встреча, подставив найденное время в любое из уравнений движения:

$S = v_2 \cdot t = 72 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 432$ км.

Способ 2. Использование относительной скорости.

К моменту, когда легковой автомобиль начал движение от бензоколонки, грузовик уже ехал в течение $\Delta t = 2$ часов. За это время он успел отъехать на расстояние:

$S_0 = v_1 \cdot \Delta t = 54 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 108$ км.

Это начальное расстояние между автомобилями.

Легковой автомобиль движется быстрее грузовика, поэтому он будет его догонять. Скорость сближения (относительная скорость) равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 72 \text{ км/ч} - 54 \text{ км/ч} = 18$ км/ч.

Время, необходимое для того, чтобы догнать грузовик, — это время, за которое легковой автомобиль покроет начальное расстояние $S_0$ со скоростью сближения $v_{сбл}$:

$t = \frac{S_0}{v_{сбл}} = \frac{108 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 6$ ч.

Теперь найдем расстояние от бензоколонки, на котором произойдет встреча. Для этого вычислим путь, который проехал легковой автомобиль за время $\text{t}$:

$S = v_2 \cdot t = 72 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 432$ км.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: легковой автомобиль догонит грузовой через 6 часов на расстоянии 432 км от бензоколонки.