Номер 177, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Понятие вектора. Вариант 3. Упражнения - номер 177, страница 86.

Условие 2017.

177. В прямоугольнике ABCD $CD = 6 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $\left|\overrightarrow{AB}\right|$;

2) $\left|\overrightarrow{BO}\right|$;

3) $\left|\overrightarrow{AD}\right|$.

Условие 2021.

177. В прямоугольнике ABCD $CD = 6$ см, $AC = 10$ см, O — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\overrightarrow{AB}|$;

2) $|\overrightarrow{BO}|$;

3) $|\overrightarrow{AD}|.$

Решение.

Решение 2 (2021).

1) $|\vec{AB}|$
Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противолежащие стороны равны. Следовательно, длина стороны $AB$ равна длине стороны $CD$. Модуль вектора $|\vec{AB}|$ равен длине отрезка $AB$.
По условию дано, что $CD = 6$ см.
Таким образом, $|\vec{AB}| = AB = CD = 6$ см.
Ответ: 6 см.

2) $|\vec{BO}|$
В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
Следовательно, $AC = BD = 10$ см.
Модуль вектора $|\vec{BO}|$ равен длине отрезка $BO$. Отрезок $BO$ является половиной диагонали $BD$.
$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Ответ: 5 см.

3) $|\vec{AD}|$
Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, угол $\angle D$ является прямым ($\angle D = 90^\circ$). Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник, где $AC$ — гипотенуза, а $AD$ и $CD$ — катеты.
По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.
Подставим известные значения: $AC = 10$ см, $CD = 6$ см.
$10^2 = AD^2 + 6^2$
$100 = AD^2 + 36$
$AD^2 = 100 - 36$
$AD^2 = 64$
$AD = \sqrt{64} = 8$ см (длина отрезка положительна).
Модуль вектора $|\vec{AD}|$ равен длине отрезка $AD$.
$|\vec{AD}| = 8$ см.
Ответ: 8 см.