Номер 182, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -7)$, $B (2; 4)$, $C (-5; 1)$, $D (-4; -10)$ является параллелограммом.

182. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -7)$, $B (2; 4)$, $C (-5; 1)$, $D (-4; -10)$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, можно использовать свойство его диагоналей. В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей AC и BD должны иметь одинаковые координаты.

Координаты вершин четырёхугольника: A(3; -7), B(2; 4), C(-5; 1), D(-4; -10).

Сначала найдём координаты середины диагонали AC. Пусть это будет точка O. Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим значения координат точек A и C:

$x_O = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_O = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты (-1; -3).

Теперь найдём координаты середины диагонали BD. Пусть это будет точка P. Координаты середины этого отрезка находятся по аналогичным формулам:

$x_P = \frac{x_B + x_D}{2}$

$y_P = \frac{y_B + y_D}{2}$

Подставим значения координат точек B и D:

$x_P = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_P = \frac{4 + (-10)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, середина диагонали BD также имеет координаты (-1; -3).

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, это означает, что диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.