Номер 187, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Модуль вектора $\vec{k}(x; y)$ равен $\sqrt{17}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 3. Найдите координаты вектора $\vec{k}$.

187. Модуль вектора $\vec{k}(x; y)$ равен $\sqrt{17}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 3. Найдите координаты вектора $\vec{k}$.

Пусть вектор $\vec{k}$ имеет координаты $(x; y)$.

Модуль вектора, $|\vec{k}|$, вычисляется по формуле $|\vec{k}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Согласно условию, модуль вектора равен $\sqrt{17}$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{17}$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем:

$x^2 + y^2 = 17$

Также в условии сказано, что координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 3. Это можно записать в виде второго уравнения:

$x = y + 3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ x = y + 3 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(y + 3)^2 + y^2 = 17$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$(y^2 + 6y + 9) + y^2 = 17$

$2y^2 + 6y + 9 - 17 = 0$

$2y^2 + 6y - 8 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-4$.

$y_1 = 1$

$y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = y + 3$:

1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 3 = 4$. Координаты вектора: $(4; 1)$.

2. Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 3 = -1$. Координаты вектора: $(-1; -4)$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Координаты вектора $\vec{k}$ равны $(4; 1)$ или $(-1; -4)$.