Номер 191, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Четырёхугольник $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$;

2) $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{CO}$;

5) $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$;

6) $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$.

191. Четырёхугольник $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$;

2) $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{CO}$;

5) $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$;

6) $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$.

Противоположные векторы — это коллинеарные векторы, которые имеют одинаковую длину (модуль) и противоположное направление. Если вектор $\vec{a}$ противоположен вектору $\vec{b}$, то это записывается как $\vec{a} = -\vec{b}$.

Рассмотрим каждую пару векторов на основе свойств ромба $ABCD$ с центром $O$.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$
Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ — это диагонали ромба. Они не коллинеарны (а взаимно перпендикулярны), поэтому не могут быть противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

2) $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$
Поскольку $ABCD$ — ромб (а значит и параллелограмм), его противолежащие стороны параллельны и равны. Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ сонаправлены и имеют одинаковую длину. Следовательно, эти векторы равны ($\vec{CB} = \vec{DA}$), а не противоположны.
Ответ: не являются противоположными (они равны).

3) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$
Диагонали ромба точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому длины отрезков $OA$ и $OC$ равны ($|OA| = |OC|$). Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой $AC$ и направлены от точки $O$ в противоположные стороны (один к вершине $A$, другой к вершине $C$). Таким образом, они имеют равные модули и противоположные направления.
Ответ: являются противоположными.

4) $\vec{BO}$ и $\vec{CO}$
Эти векторы исходят из разных точек ($B$ и $C$) и заканчиваются в одной точке ($O$). Они не лежат на одной прямой (не коллинеарны), так как точки $B, C, O$ образуют треугольник. Следовательно, они не могут быть противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

5) $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$
Эти векторы лежат на одной прямой. Их длины равны длине диагонали $AC$. Вектор $\vec{AC}$ направлен из точки $A$ в точку $C$, а вектор $\vec{CA}$ — из точки $C$ в точку $A$. У них одинаковая длина и противоположные направления. По определению, $\vec{AC} = -\vec{CA}$.
Ответ: являются противоположными.

6) $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$
В ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ противолежащие, значит, они параллельны и равны по длине. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, так как соответствуют направлению обхода вершин. Следовательно, эти векторы равны ($\vec{BA} = \vec{CD}$), а не противоположны.
Ответ: не являются противоположными (они равны).