Номер 192, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD};$

2) $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB};$

3) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB} - \vec{DA}.$

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD};$

2) $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB};$

3) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB} - \vec{DA}.$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, для векторов, образованных его сторонами, справедливы следующие равенства: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$ и $\vec{CB} = \vec{DA}$. Также будем использовать правила сложения и вычитания векторов.

1) $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD}$

Разность векторов $\vec{BA} - \vec{BC}$ равна вектору $\vec{CA}$. Заменим это в выражении:

$\vec{CA} + \vec{AD}$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма этих векторов равна вектору $\vec{CD}$:

$\vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CD}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Альтернативное решение:
Заменим вектор $\vec{AD}$ на равный ему вектор $\vec{BC}$ (свойство параллелограмма):
$\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{BC} = \vec{BA} + (-\vec{BC} + \vec{BC}) = \vec{BA} + \vec{0} = \vec{BA}$.

Ответ: $\vec{BA}$

2) $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB}$

Переставим векторы местами для удобства сложения по правилу треугольника:

$\vec{DB} + \vec{BC} + \vec{BA}$

Сумма первых двух векторов $\vec{DB} + \vec{BC}$ равна вектору $\vec{DC}$:

$(\vec{DB} + \vec{BC}) + \vec{BA} = \vec{DC} + \vec{BA}$

По свойству параллелограмма, вектор $\vec{DC}$ равен вектору $\vec{AB}$. Заменим $\vec{DC}$ на $\vec{AB}$:

$\vec{AB} + \vec{BA}$

Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору.

$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB} - \vec{DA}$

В выражении есть сумма двух противоположных векторов $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$, которая равна нулевому вектору: $\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Выражение упрощается до:

$\vec{AB} + \vec{0} - \vec{DA} = \vec{AB} - \vec{DA}$

Заменим вычитание вектора на сложение с противоположным ему вектором: $-\vec{DA} = \vec{AD}$.

$\vec{AB} + \vec{AD}$

По свойству параллелограмма, вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC}$

По правилу треугольника, сумма этих векторов равна вектору $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Альтернативное решение для последнего шага:
Сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, исходящих из одной вершины $A$ параллелограмма, по правилу параллелограмма равна вектору диагонали $\vec{AC}$, исходящей из той же вершины.

Ответ: $\vec{AC}$