Номер 193, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 3; 7; 11;

2) 6; 7; 12;

3) 8; 7; 15?

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) $3; 7; 11$;

2) $6; 7; 12$;

3) $8; 7; 15$?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть нулевым вектором ($\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$), если эти векторы могут образовать замкнутый треугольник. Для этого длины векторов (их модули) должны удовлетворять неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника должна быть меньше или равна сумме длин двух других сторон. Достаточно проверить, что наибольший модуль не превышает сумму двух других.

1) 3; 7; 11;

Пусть модули векторов равны $a = 3$, $b = 7$, $c = 11$. Наибольший модуль - $11$. Проверим неравенство треугольника:

$11 \le 3 + 7$

$11 \le 10$

Это неравенство ложно. Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть нулевым вектором.

Ответ: не может.

2) 6; 7; 12;

Пусть модули векторов равны $a = 6$, $b = 7$, $c = 12$. Наибольший модуль - $12$. Проверим неравенство треугольника:

$12 \le 6 + 7$

$12 \le 13$

Это неравенство истинно. Следовательно, можно подобрать направления векторов так, чтобы их сумма была равна нулевому вектору (они образуют треугольник).

Ответ: может.

3) 8; 7; 15?

Пусть модули векторов равны $a = 8$, $b = 7$, $c = 15$. Наибольший модуль - $15$. Проверим неравенство треугольника:

$15 \le 8 + 7$

$15 \le 15$

Это неравенство истинно (достигается равенство). Это означает, что векторы коллинеарны и могут образовать "вырожденный" треугольник. Например, если векторы с модулями 7 и 8 сонаправлены, а вектор с модулем 15 направлен в противоположную сторону, их сумма будет равна нулевому вектору.

Ответ: может.